Minimierungsproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 31.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Minimierungsproblem:
[mm] \min_{x,y} [/mm] f = [mm] \min_{x,y} [/mm] x + y
u.d.N. [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
x,y [mm] \ge [/mm] 0
Hat dieses Minimierungsproblem eine Lösung. Wenn ja, was ist der Minimumwert der Funktion? |
Hallo,
die Lagrangefunktion ist: L(x,y, [mm] \lambda) [/mm] = x + y - [mm] \lambda(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1)
Zunächst einmal finde ich die stationären Punkte heraus, in dem ich die ersten Ableitungen der Lagrangefunktion gleich Null setze.
Ich erhalte als stationären Punkt: x* = [mm] \wurzel{1/2} [/mm] ; y* = [mm] \wurzel{1/2} [/mm] und [mm] \lambda [/mm] * = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}.
[/mm]
Eingesetzt in die Lagrangefunktion [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] oder direkt in die Funktion f(x,y) ergibt [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Mein Antwort ist daher: ja, und der Minimumwert der Funktion ist [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Die Lösung ist aber: ja, und der Minimumwert der Funktion ist 1.
Was mache ich falsch?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 31.01.2016 | | Autor: | abakus |
Hallo,
wir reden von den Punkten des Einheitskreises, die im 1. Quadranten liegen.
Der Punkt [mm] $(\frac{\sqrt2}{2}; \frac{\sqrt2}{2})$ [/mm] hat die MAXIMALE Koordinatensumme. Die Summe der Koordinaten ist [mm] $\sqrt2$.
[/mm]
Die Punkte (1;0) und (0;1) haben offensichtlich eine kleinere Koordinatensumme. Mit Lagrange findest du in den beiden Punkten kein Minimum, weil die "angrenzenden" Punkte im zweiten bzw. vierten Quadranten Punkte wegen einer negativ werdenden Koordinate noch kleinere Summen haben.
Randpunkte deshalb separat betrachten!
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