Minimalpolynom von Blockmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:38 Fr 20.05.2005 | | Autor: | RoCMe |
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Hi!
Ich will das Minimalpolynom der Blockmatrix C := [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & B } [/mm] berechnen, wobei A := [mm] \pmat{-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & 0 & 3 } [/mm] und B := [mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
Ich weiß, dass das MinPol (C) = kgV (MinPol(A), MinPol(B)) ist - dummerweise kann ich die nit berechnen :-/
Zunächst hab ich die charakteristischen Polynome von A und B berechnet:
[mm] p_{A} [/mm] := [mm] x^{4} [/mm] - 2 [mm] x^{3} [/mm] - 3 [mm] x^{2} [/mm] + 4 x + 4
[mm] p_{B} [/mm] := - [mm] x^{3} [/mm] + 3 x + 2
Soweit so gut... Ich hab mir jetzt so meine Gedanken gemacht, aber irgendwie hakt es hier *grml*
Ich weiß natürlich, dass das Minimalpolynom das normierte Polynom kleinsten Grades ist mit MinPol(A)=0 (wobei A die Matrix). Ich weiß, dass das charakteristische Polynom dieselben irreduziblen Teiler hat wie das minimale und das alle Nullstellen des gesuchten Polynoms die Eigenwerte der zugehörigen Matrix darstellen. Nur irgendwie hilft mir das alles nicht :-( Jetzt hoffe ich auf euch :) Ich erwarte natürlich keine fertige Lösung, sondern nur Hinweise zum richtigen Lösungsweg.
mfg, Danke für Hilfe im Vorraus
RoCMe
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Hallo!
Hast du die Eigenwerte schon ausgerechnet? Jedenfalls: A hat die doppelten EW 2 und -1 und B hat EW 2 und doppelten EW -1.
Weißt du, wie die Dimension der Eigenräume mit dem Minimalpolynom zusammenhängen?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Fr 20.05.2005 | | Autor: | RoCMe |
Hey!
Geht das hier immer so schnell mit den Antworten???
Also, ich konnte da jetzt keinen Zusammenhang erkennen :-/ Aber da du sowas nicht ohne Hintergrund fragen würdest, hab ich mal gerechnet! Ich komm auf die gleichen EW wie du, alle ER haben die Dimesion 1. Aber wo ist da der Zusammenhang?
Aber ich hab da noch einen anderen Ansatz: Beim Ausrechnen der EW hab ich durch Polynomdivision festgestellt, dass [mm] p_{A} [/mm] = [mm] (x-2)^{2} (x+1)^{2}
[/mm]
Beachtet man jetzt, dass [mm] p_{A} [/mm] und [mm] m_{A} [/mm] nur gemeinsame irreduzible Teiler haben, dann gibt es doch nur noch folgende Möglichkeiten:
(x-2) (x+1) oder [mm] (x-2)^{2} [/mm] (x+1) oder (x-2) [mm] (x+1)^{2} [/mm] oder [mm] p_{A} [/mm] = [mm] m_{A}
[/mm]
Wenn ich jetzt (beginnend beim vom Grad her kleinsten Produkt) A einsetze, bis die Nullmatrix herauskommt, bin ich dann nicht schon fertig?
Wär nett, wenn mir jmd sagen könnte, ob ich da richtig. Außerdem interessiert mich die oben angesprochene Beziehung zwischen Dimesion der ER und dem Minimalpolynom trotzdem noch - evtl. geht es damit ja eleganter 
mfg, einen schönen Freitag Abend :)
RoCMe
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Hallo!
> Geht das hier immer so schnell mit den Antworten???
Nicht immer. Aber wir bemühen uns redlich!
> Aber ich hab da noch einen anderen Ansatz: Beim
> Ausrechnen der EW hab ich durch Polynomdivision
> festgestellt, dass [mm]p_{A}[/mm] = [mm](x-2)^{2} (x+1)^{2}[/mm]
> Beachtet
> man jetzt, dass [mm]p_{A}[/mm] und [mm]m_{A}[/mm] nur gemeinsame irreduzible
> Teiler haben, dann gibt es doch nur noch folgende
> Möglichkeiten:
> (x-2) (x+1) oder [mm](x-2)^{2}[/mm] (x+1) oder (x-2) [mm](x+1)^{2}[/mm] oder
> [mm]p_{A}[/mm] = [mm]m_{A}[/mm]
> Wenn ich jetzt (beginnend beim vom Grad her kleinsten
> Produkt) A einsetze, bis die Nullmatrix herauskommt, bin
> ich dann nicht schon fertig?
Das ist richtig.
> Wär nett, wenn mir jmd sagen könnte, ob ich da richtig.
> Außerdem interessiert mich die oben angesprochene Beziehung
> zwischen Dimesion der ER und dem Minimalpolynom trotzdem
> noch - evtl. geht es damit ja eleganter
Das geht tatsächlich.
> alle ER haben die Dimesion 1. Aber wo ist da der
> Zusammenhang?
Was du ja brauchst ist, dass [mm] $m_A(A)=0$. [/mm] Das kann man aber auch anders schreiben: [mm] $m_A(A)x=0$ [/mm] für alle Vektoren [mm] $x\in\IR^4$. [/mm] Wenn [mm] $x_1$ [/mm] ein EV ist, z.B. zum EW 2, dann gilt [mm] $m_A(A)x_1=P(A)(A-2)x_1=0$, [/mm] weil ja [mm] $(A-2)x_1=0$! [/mm] So kannst du das auch mit den anderen EV machen. Da in diesem Falls aber keine Basis aus EV existiert, reicht das leider nicht. Das ist ja bei der Matrix $A$ der Fall: Beider EW haben die geometrische Vielfachheit 1.
Weil aber der EV 2 die algebraische Vielfachheit 2 hat, gibt es einen Vektor [mm] $x_2\ne [/mm] 0$ mit [mm] $(A-2)x_2=x_1$. [/mm] Daraus folgt [mm] $(A-2)^2x_2=0$! [/mm] Man nennt einen solchen Vektor "verallgemeinerten Eigenvektor".
Dasselbe gilt für den Eigenwert -1. Du findest also ein [mm] $x_3$ [/mm] mit [mm] $(A+1)x_3=0$ [/mm] und ein [mm] $x_4$ [/mm] mit [mm] $(A+1)^2x_3=0$.
[/mm]
Würdest du jetzt z.B. das Polynom $(x-1)(x-2)$ probieren, käme folgendes raus: [mm] $(A+1)(A-2)x_2=(A+1)x_1\ne [/mm] 0$! Genauso könntest du es mit [mm] $(x+1)^2(x-2)$ [/mm] und [mm] $(x-2)^2(x+1)$ [/mm] machen. Also muss das Minimalpolynom [mm] $(x+1)^2(x-2)^2$ [/mm] sein!
Jedenfalls geht das mit jeder Matrix so ähnlich. Deshalb entspricht die Vielfachheit einer Nullstelle des Minimalpolynoms immer gerade der Größe der zugehörigen Jordanblöcke. (Habt ihr die Jordannormalform schon gemacht? Sonst vergiss das einfach...)
Jedenfalls gilt immer, dass wenn es weniger EV zum EW [mm] $\lambda$ [/mm] gibt, als die Vielfachheit von [mm] $\lambda$ [/mm] im char. Polynom, dass dann die Vielfachheit im Minimalpolynom mindestens 2 ist.
Ich hoffe, dass ich's einigermaßen anschaulich erklären konnte.
Wenn ihr in der Vorlesung noch keine verallgemeinerten Eigenräume gemacht habt, ist es aber wahrscheinlich so oder so am besten, es durch Ausmultiplizieren zu versuchen. Allerdings scheint mir das ziemlich eklig zu sein...
Gruß, banachella
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