Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 19.05.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Minimalpolynom. Ich bin diesbezüglich leider sehr verwirrt, da jeder etwas anderes sagt bzw. überall verschiedene Dinge dazu stehen.
Ich weiß, dass ich zuerst das charakteristische Polynom bilden muss, das ist kein Problem. Das Minimalpolynom ist ja Teiler vom char. Polynom und vom Grad kleiner oder gleich dem char. Polynom.
Wenn z.B. das char. Polynom [mm] P_A(t)=(t+1)^3 [/mm] ist, dann weiß ich, dass mögliche Minimalpolynome [mm] m_A(t)=(t+1)^3, m_A(t)=(t+1)^2 [/mm] und [mm] m_A(t)=(t+1) [/mm] sind.
Also bei char. Polynomen dieser Form ist das kein Problem.
Wenn aber z.B. [mm] P_B(t)=t(t+1)(t-9) [/mm] ist, wie ist es dann? Ich habe im Internet gelesen, dass hier [mm] m_B=P_B [/mm] ist, weil alles 1 als Potenz ist, aber ein Kommilitone meinte, dass hier auch jeder einzelne Linearfaktor das Minimalpolynom sein kann, also das [mm] m_B=t, m_B=(t+1) [/mm] oder [mm] m_B=(t-9) [/mm] auch möglich wäre weil das Minimalpolynom ja das char. Polynom teilt. Was stimmt denn da nun?
Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B. [mm] P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2 [/mm] ist. Gleiche Frage wie davor. Können auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein? (Rein hypotetisch, auch wenn das durch einsetzen ungleich 0 sein sollte.)
Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
[mm] m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2, [/mm]
[mm] m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2, [/mm]
[mm] m_C(t)=(t-a)(t+a)^2, [/mm]
[mm] m_C(t)=(t-a)(t+a), [/mm]
[mm] m_C(t)=(t-a)^2(t+a), [/mm]
[mm] m_C(t)=(t-a)^3(t+a)
[/mm]
???
Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
Danke
Grüße Belleci
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
> Hallo,
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> ich beschäftige mich gerade mit dem Minimalpolynom. Ich
> bin diesbezüglich leider sehr verwirrt, da jeder etwas
> anderes sagt bzw. überall verschiedene Dinge dazu stehen.
>
> Ich weiß, dass ich zuerst das charakteristische Polynom
> bilden muss, das ist kein Problem. Das Minimalpolynom ist
> ja Teiler vom char. Polynom und vom Grad kleiner oder
> gleich dem char. Polynom.
>
> Wenn z.B. das char. Polynom [mm]P_A(t)=(t+1)^3[/mm] ist, dann weiß
> ich, dass mögliche Minimalpolynome [mm]m_A(t)=(t+1)^3, m_A(t)=(t+1)^2[/mm]
> und [mm]m_A(t)=(t+1)[/mm] sind.
> Also bei char. Polynomen dieser Form ist das kein
> Problem.
>
> Wenn aber z.B. [mm]P_B(t)=t(t+1)(t-9)[/mm] ist, wie ist es dann? Ich
> habe im Internet gelesen, dass hier [mm]m_B=P_B[/mm] ist, weil alles
> 1 als Potenz ist, aber ein Kommilitone meinte, dass hier
> auch jeder einzelne Linearfaktor das Minimalpolynom sein
> kann,
Das ist Non-sense.
> also das [mm]m_B=t, m_B=(t+1)[/mm] oder [mm]m_B=(t-9)[/mm] auch
> möglich wäre weil das Minimalpolynom ja das char. Polynom
> teilt. Was stimmt denn da nun?
Bezeichnet man das Minimalpolynom von $A$ mit [mm] $m_A$ [/mm] und das charakteristische Polynom von $A$ mit [mm] $\chi_A$, [/mm] so gilt stets [mm] $m_A\mid \chi_A$. [/mm] Dennoch existiert eine Potenz $k$ von [mm] $m_A$, [/mm] sodass [mm] $\chi_A\mid m_A^k$ [/mm] gilt. Demnach haben [mm] $m_A$ [/mm] und [mm] $\chi_A$ [/mm] die gleichen irreduziblen Faktoren und damit auch Nullstellen.
Das zu begründen wäre mir zu viel Text. Ich habe eben mal schnell im Forum gesucht. Felix war so fleißig und hat ein paar Infos drüber geschrieben:
https://matheraum.de/read?i=172865
Ist nun [mm] $\chi_A(t)=t(t+1)(t-9)$, [/mm] so muss auch das Minimalpolynom diese Faktoren $t,t+1,t-9$ haben. Insbesondere kann man [mm] $m_A$ [/mm] von [mm] $\chi_A$ [/mm] ablesen. Wie sieht [mm] $m_A$ [/mm] aus?
>
> Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B.
> [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] ist. Gleiche Frage wie davor. Können
> auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein?
Die letzten genannten können kein Minimalpolynom von der Matrix mit charak. Polynom [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] sein.
> (Rein
> hypotetisch, auch wenn das durch einsetzen ungleich 0 sein
> sollte.)
> Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
> [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2,[/mm]
> [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2,[/mm]
> [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a)^2,[/mm]
> [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a),[/mm]
> [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a),[/mm]
> [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)[/mm]
Ja genau alle Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 5$ mit Linearfaktoren $t-a,t+a$.
> ???
>
> Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
> Danke
> Grüße Belleci
>
Gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 19.05.2013 | | Autor: | Belleci |
Erst mal danke für deine schnelle Antwort.
> moin,
> > Hallo,
> >
> > ich beschäftige mich gerade mit dem Minimalpolynom.
> Ich
> > bin diesbezüglich leider sehr verwirrt, da jeder etwas
> > anderes sagt bzw. überall verschiedene Dinge dazu
> stehen.
> >
> > Ich weiß, dass ich zuerst das charakteristische
> Polynom
> > bilden muss, das ist kein Problem. Das Minimalpolynom
> ist
> > ja Teiler vom char. Polynom und vom Grad kleiner oder
> > gleich dem char. Polynom.
> >
> > Wenn z.B. das char. Polynom [mm]P_A(t)=(t+1)^3[/mm] ist, dann
> weiß
> > ich, dass mögliche Minimalpolynome [mm]m_A(t)=(t+1)^3, m_A(t)=(t+1)^2[/mm]
>
> > und [mm]m_A(t)=(t+1)[/mm] sind.
> > Also bei char. Polynomen dieser Form ist das kein
> > Problem.
> >
> > Wenn aber z.B. [mm]P_B(t)=t(t+1)(t-9)[/mm] ist, wie ist es dann?
> Ich
> > habe im Internet gelesen, dass hier [mm]m_B=P_B[/mm] ist, weil
> alles
> > 1 als Potenz ist, aber ein Kommilitone meinte, dass
> hier
> > auch jeder einzelne Linearfaktor das Minimalpolynom
> sein
> > kann,
> Das ist Non-sense.
> > also das [mm]m_B=t, m_B=(t+1)[/mm] oder [mm]m_B=(t-9)[/mm] auch
> > möglich wäre weil das Minimalpolynom ja das char.
> Polynom
> > teilt. Was stimmt denn da nun?
>
> Bezeichnet man das Minimalpolynom von [mm]A[/mm] mit [mm]m_A[/mm] und das
> charakteristische Polynom von [mm]A[/mm] mit [mm]\chi_A[/mm], so gilt stets
> [mm]m_A\mid \chi_A[/mm]. Dennoch existiert eine Potenz [mm]k[/mm] von [mm]m_A[/mm],
> sodass [mm]\chi_A\mid m_A^k[/mm] gilt. Demnach haben [mm]m_A[/mm] und [mm]\chi_A[/mm]
> die gleichen irreduziblen Faktoren und damit auch
> Nullstellen.
>
> Das zu begründen wäre mir zu viel Text. Ich habe eben mal
> schnell im Forum gesucht. Felix war so fleißig und hat ein
> paar Infos drüber geschrieben:
> https://matheraum.de/read?i=172865
>
> Ist nun [mm]\chi_A(t)=t(t+1)(t-9)[/mm], so muss auch das
> Minimalpolynom diese Faktoren [mm]t,t+1,t-9[/mm] haben. Insbesondere
> kann man [mm]m_A[/mm] von [mm]\chi_A[/mm] ablesen. Wie sieht [mm]m_A[/mm] aus?
>
Ok, also kommt jeder Linearfaktor mindestens einmal vor und maximal so oft, wie die jeweilige Potenz im char. Polynom?!
Das Minimalpolynom ist dann gleich dem char. Polynom, also [mm] m_A(t)=t(t+1)(t-9).
[/mm]
>
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> >
> > Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B.
> > [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] ist. Gleiche Frage wie davor.
> Können
> > auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein?
> Die letzten genannten können kein Minimalpolynom von der
> Matrix mit charak. Polynom [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] sein.
> > (Rein
> > hypotetisch, auch wenn das durch einsetzen ungleich 0
> sein
> > sollte.)
> > Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
> > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2,[/mm]
> > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2,[/mm]
> > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a)^2,[/mm]
> > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a),[/mm]
> > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a),[/mm]
> > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)[/mm]
> Ja genau alle Polynome vom Grad [mm]\leq 5[/mm] mit Linearfaktoren
> [mm]t-a,t+a[/mm].
> > ???
> >
Hätte dann noch eine Frage.
Wie kann man die Jordan Normalformen von den Minimalpolynomen ablesen?
Wenn man als Beispiel das letzte char. Polynom von hier nimmt. Es gibt ja dann 6 mögliche Minimalpolynome, gibt es dann 6 möglich Jordan Normalformen?
> > Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
> > Danke
> > Grüße Belleci
> >
> Gruß
> wieschoo
Grüße Belleci
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Hallo Belleci,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Erst mal danke für deine schnelle Antwort.
>
> > moin,
> > > Hallo,
> > >
> > > ich beschäftige mich gerade mit dem Minimalpolynom.
> > Ich
> > > bin diesbezüglich leider sehr verwirrt, da jeder
> etwas
> > > anderes sagt bzw. überall verschiedene Dinge dazu
> > stehen.
> > >
> > > Ich weiß, dass ich zuerst das charakteristische
> > Polynom
> > > bilden muss, das ist kein Problem. Das Minimalpolynom
> > ist
> > > ja Teiler vom char. Polynom und vom Grad kleiner
> oder
> > > gleich dem char. Polynom.
> > >
> > > Wenn z.B. das char. Polynom [mm]P_A(t)=(t+1)^3[/mm] ist, dann
> > weiß
> > > ich, dass mögliche Minimalpolynome [mm]m_A(t)=(t+1)^3, m_A(t)=(t+1)^2[/mm]
>
> >
> > > und [mm]m_A(t)=(t+1)[/mm] sind.
> > > Also bei char. Polynomen dieser Form ist das kein
> > > Problem.
> > >
> > > Wenn aber z.B. [mm]P_B(t)=t(t+1)(t-9)[/mm] ist, wie ist es
> dann?
> > Ich
> > > habe im Internet gelesen, dass hier [mm]m_B=P_B[/mm] ist, weil
> > alles
> > > 1 als Potenz ist, aber ein Kommilitone meinte, dass
> > hier
> > > auch jeder einzelne Linearfaktor das Minimalpolynom
> > sein
> > > kann,
> > Das ist Non-sense.
> > > also das [mm]m_B=t, m_B=(t+1)[/mm] oder [mm]m_B=(t-9)[/mm] auch
> > > möglich wäre weil das Minimalpolynom ja das char.
> > Polynom
> > > teilt. Was stimmt denn da nun?
> >
> > Bezeichnet man das Minimalpolynom von [mm]A[/mm] mit [mm]m_A[/mm] und das
> > charakteristische Polynom von [mm]A[/mm] mit [mm]\chi_A[/mm], so gilt stets
> > [mm]m_A\mid \chi_A[/mm]. Dennoch existiert eine Potenz [mm]k[/mm] von [mm]m_A[/mm],
> > sodass [mm]\chi_A\mid m_A^k[/mm] gilt. Demnach haben [mm]m_A[/mm] und [mm]\chi_A[/mm]
> > die gleichen irreduziblen Faktoren und damit auch
> > Nullstellen.
> >
> > Das zu begründen wäre mir zu viel Text. Ich habe eben mal
> > schnell im Forum gesucht. Felix war so fleißig und hat ein
> > paar Infos drüber geschrieben:
> > https://matheraum.de/read?i=172865
> >
> > Ist nun [mm]\chi_A(t)=t(t+1)(t-9)[/mm], so muss auch das
> > Minimalpolynom diese Faktoren [mm]t,t+1,t-9[/mm] haben. Insbesondere
> > kann man [mm]m_A[/mm] von [mm]\chi_A[/mm] ablesen. Wie sieht [mm]m_A[/mm] aus?
> >
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> Ok, also kommt jeder Linearfaktor mindestens einmal vor und
> maximal so oft, wie die jeweilige Potenz im char.
> Polynom?!
> Das Minimalpolynom ist dann gleich dem char. Polynom, also
> [mm]m_A(t)=t(t+1)(t-9).[/mm]
>
>
Ja.
> >
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> > >
> > > Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B.
> > > [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] ist. Gleiche Frage wie davor.
> > Können
> > > auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein?
> > Die letzten genannten können kein Minimalpolynom von
> der
> > Matrix mit charak. Polynom [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] sein.
> > > (Rein
> > > hypotetisch, auch wenn das durch einsetzen ungleich 0
> > sein
> > > sollte.)
> > > Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2,[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2,[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a)^2,[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a),[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a),[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)[/mm]
> > Ja genau alle Polynome vom Grad [mm]\leq 5[/mm] mit
> Linearfaktoren
> > [mm]t-a,t+a[/mm].
> > > ???
> > >
>
>
> Hätte dann noch eine Frage.
> Wie kann man die Jordan Normalformen von den
> Minimalpolynomen ablesen?
> Wenn man als Beispiel das letzte char. Polynom von hier
> nimmt. Es gibt ja dann 6 mögliche Minimalpolynome, gibt es
> dann 6 möglich Jordan Normalformen?
>
Hier im speziellen Fall trifft das zu.
> > > Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
> > > Danke
> > > Grüße Belleci
> > >
> > Gruß
> > wieschoo
>
>
> Grüße Belleci
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 19.05.2013 | | Autor: | Belleci |
> Hallo Belleci,
>
>
>
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>
> > Erst mal danke für deine schnelle Antwort.
> >
> > > moin,
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich beschäftige mich gerade mit dem
> Minimalpolynom.
> > > Ich
> > > > bin diesbezüglich leider sehr verwirrt, da jeder
> > etwas
> > > > anderes sagt bzw. überall verschiedene Dinge dazu
> > > stehen.
> > > >
> > > > Ich weiß, dass ich zuerst das charakteristische
> > > Polynom
> > > > bilden muss, das ist kein Problem. Das
> Minimalpolynom
> > > ist
> > > > ja Teiler vom char. Polynom und vom Grad kleiner
> > oder
> > > > gleich dem char. Polynom.
> > > >
> > > > Wenn z.B. das char. Polynom [mm]P_A(t)=(t+1)^3[/mm] ist,
> dann
> > > weiß
> > > > ich, dass mögliche Minimalpolynome
> [mm]m_A(t)=(t+1)^3, m_A(t)=(t+1)^2[/mm]
> >
> > >
> > > > und [mm]m_A(t)=(t+1)[/mm] sind.
> > > > Also bei char. Polynomen dieser Form ist das kein
> > > > Problem.
> > > >
> > > > Wenn aber z.B. [mm]P_B(t)=t(t+1)(t-9)[/mm] ist, wie ist es
> > dann?
> > > Ich
> > > > habe im Internet gelesen, dass hier [mm]m_B=P_B[/mm] ist,
> weil
> > > alles
> > > > 1 als Potenz ist, aber ein Kommilitone meinte,
> dass
> > > hier
> > > > auch jeder einzelne Linearfaktor das
> Minimalpolynom
> > > sein
> > > > kann,
> > > Das ist Non-sense.
> > > > also das [mm]m_B=t, m_B=(t+1)[/mm] oder [mm]m_B=(t-9)[/mm] auch
> > > > möglich wäre weil das Minimalpolynom ja das
> char.
> > > Polynom
> > > > teilt. Was stimmt denn da nun?
> > >
> > > Bezeichnet man das Minimalpolynom von [mm]A[/mm] mit [mm]m_A[/mm] und das
> > > charakteristische Polynom von [mm]A[/mm] mit [mm]\chi_A[/mm], so gilt stets
> > > [mm]m_A\mid \chi_A[/mm]. Dennoch existiert eine Potenz [mm]k[/mm] von [mm]m_A[/mm],
> > > sodass [mm]\chi_A\mid m_A^k[/mm] gilt. Demnach haben [mm]m_A[/mm] und [mm]\chi_A[/mm]
> > > die gleichen irreduziblen Faktoren und damit auch
> > > Nullstellen.
> > >
> > > Das zu begründen wäre mir zu viel Text. Ich habe eben mal
> > > schnell im Forum gesucht. Felix war so fleißig und hat ein
> > > paar Infos drüber geschrieben:
> > > https://matheraum.de/read?i=172865
> > >
> > > Ist nun [mm]\chi_A(t)=t(t+1)(t-9)[/mm], so muss auch das
> > > Minimalpolynom diese Faktoren [mm]t,t+1,t-9[/mm] haben. Insbesondere
> > > kann man [mm]m_A[/mm] von [mm]\chi_A[/mm] ablesen. Wie sieht [mm]m_A[/mm] aus?
> > >
> >
> >
> > Ok, also kommt jeder Linearfaktor mindestens einmal vor und
> > maximal so oft, wie die jeweilige Potenz im char.
> > Polynom?!
> > Das Minimalpolynom ist dann gleich dem char. Polynom,
> also
> > [mm]m_A(t)=t(t+1)(t-9).[/mm]
> >
> >
>
>
> Ja.
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> > > >
> > > > Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B.
> > > > [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] ist. Gleiche Frage wie
> davor.
> > > Können
> > > > auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein?
> > > Die letzten genannten können kein Minimalpolynom
> von
> > der
> > > Matrix mit charak. Polynom [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] sein.
> > > > (Rein
> > > > hypotetisch, auch wenn das durch einsetzen
> ungleich 0
> > > sein
> > > > sollte.)
> > > > Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
> > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2,[/mm]
> > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2,[/mm]
> > > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a)^2,[/mm]
> > > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a),[/mm]
> > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a),[/mm]
> > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)[/mm]
> > > Ja genau alle Polynome vom Grad [mm]\leq 5[/mm] mit
> > Linearfaktoren
> > > [mm]t-a,t+a[/mm].
> > > > ???
> > > >
> >
> >
> > Hätte dann noch eine Frage.
> > Wie kann man die Jordan Normalformen von den
> > Minimalpolynomen ablesen?
> > Wenn man als Beispiel das letzte char. Polynom von hier
> > nimmt. Es gibt ja dann 6 mögliche Minimalpolynome, gibt es
> > dann 6 möglich Jordan Normalformen?
> >
>
>
> Hier im speziellen Fall trifft das zu.
>
Wie soll ich 'speziellen Fall' jetzt verstehen? Ist das nicht immer so, dass die Anzahl der Minimalpolynome der Anzahl der möglichen JNF entspricht? Oder meinst du jezt auf das konkrete Beispiel bezogen?
(Will nur sichergehen, dass ich mir nichts falsches merke. ^^)
Und wie genau kann ich die JNF mithilfe des char. Polynoms bzw. Minimalpolynoms ablesen?
>
>
> > > > Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
> > > > Danke
> > > > Grüße Belleci
> > > >
> > > Gruß
> > > wieschoo
> >
> >
> > Grüße Belleci
>
>
> Gruss
> MathePower
Grüße Belleci
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Hallo Belleci,
> > Hallo Belleci,
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Erst mal danke für deine schnelle Antwort.
> > >
> > > > moin,
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > ich beschäftige mich gerade mit dem
> > Minimalpolynom.
> > > > Ich
> > > > > bin diesbezüglich leider sehr verwirrt, da
> jeder
> > > etwas
> > > > > anderes sagt bzw. überall verschiedene Dinge
> dazu
> > > > stehen.
> > > > >
> > > > > Ich weiß, dass ich zuerst das
> charakteristische
> > > > Polynom
> > > > > bilden muss, das ist kein Problem. Das
> > Minimalpolynom
> > > > ist
> > > > > ja Teiler vom char. Polynom und vom Grad
> kleiner
> > > oder
> > > > > gleich dem char. Polynom.
> > > > >
> > > > > Wenn z.B. das char. Polynom [mm]P_A(t)=(t+1)^3[/mm] ist,
> > dann
> > > > weiß
> > > > > ich, dass mögliche Minimalpolynome
> > [mm]m_A(t)=(t+1)^3, m_A(t)=(t+1)^2[/mm]
> > >
> > > >
> > > > > und [mm]m_A(t)=(t+1)[/mm] sind.
> > > > > Also bei char. Polynomen dieser Form ist das
> kein
> > > > > Problem.
> > > > >
> > > > > Wenn aber z.B. [mm]P_B(t)=t(t+1)(t-9)[/mm] ist, wie ist
> es
> > > dann?
> > > > Ich
> > > > > habe im Internet gelesen, dass hier [mm]m_B=P_B[/mm]
> ist,
> > weil
> > > > alles
> > > > > 1 als Potenz ist, aber ein Kommilitone meinte,
> > dass
> > > > hier
> > > > > auch jeder einzelne Linearfaktor das
> > Minimalpolynom
> > > > sein
> > > > > kann,
> > > > Das ist Non-sense.
> > > > > also das [mm]m_B=t, m_B=(t+1)[/mm] oder [mm]m_B=(t-9)[/mm] auch
> > > > > möglich wäre weil das Minimalpolynom ja das
> > char.
> > > > Polynom
> > > > > teilt. Was stimmt denn da nun?
> > > >
> > > > Bezeichnet man das Minimalpolynom von [mm]A[/mm] mit [mm]m_A[/mm] und das
> > > > charakteristische Polynom von [mm]A[/mm] mit [mm]\chi_A[/mm], so gilt stets
> > > > [mm]m_A\mid \chi_A[/mm]. Dennoch existiert eine Potenz [mm]k[/mm] von [mm]m_A[/mm],
> > > > sodass [mm]\chi_A\mid m_A^k[/mm] gilt. Demnach haben [mm]m_A[/mm] und [mm]\chi_A[/mm]
> > > > die gleichen irreduziblen Faktoren und damit auch
> > > > Nullstellen.
> > > >
> > > > Das zu begründen wäre mir zu viel Text. Ich habe eben mal
> > > > schnell im Forum gesucht. Felix war so fleißig und hat ein
> > > > paar Infos drüber geschrieben:
> > > > https://matheraum.de/read?i=172865
> > > >
> > > > Ist nun [mm]\chi_A(t)=t(t+1)(t-9)[/mm], so muss auch das
> > > > Minimalpolynom diese Faktoren [mm]t,t+1,t-9[/mm] haben. Insbesondere
> > > > kann man [mm]m_A[/mm] von [mm]\chi_A[/mm] ablesen. Wie sieht [mm]m_A[/mm] aus?
> > > >
> > >
> > >
> > > Ok, also kommt jeder Linearfaktor mindestens einmal vor und
> > > maximal so oft, wie die jeweilige Potenz im char.
> > > Polynom?!
> > > Das Minimalpolynom ist dann gleich dem char.
> Polynom,
> > also
> > > [mm]m_A(t)=t(t+1)(t-9).[/mm]
> > >
> > >
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B.
> > > > > [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] ist. Gleiche Frage wie
> > davor.
> > > > Können
> > > > > auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein?
> > > > Die letzten genannten können kein Minimalpolynom
> > von
> > > der
> > > > Matrix mit charak. Polynom [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] sein.
> > > > > (Rein
> > > > > hypotetisch, auch wenn das durch einsetzen
> > ungleich 0
> > > > sein
> > > > > sollte.)
> > > > > Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
> > > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2,[/mm]
> > > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2,[/mm]
> > > > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a)^2,[/mm]
> > > > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a),[/mm]
> > > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a),[/mm]
> > > > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)[/mm]
> > > > Ja genau alle Polynome vom Grad [mm]\leq 5[/mm] mit
> > > Linearfaktoren
> > > > [mm]t-a,t+a[/mm].
> > > > > ???
> > > > >
> > >
> > >
> > > Hätte dann noch eine Frage.
> > > Wie kann man die Jordan Normalformen von den
> > > Minimalpolynomen ablesen?
> > > Wenn man als Beispiel das letzte char. Polynom von
> hier
> > > nimmt. Es gibt ja dann 6 mögliche Minimalpolynome, gibt es
> > > dann 6 möglich Jordan Normalformen?
> > >
> >
> >
> > Hier im speziellen Fall trifft das zu.
> >
>
>
> Wie soll ich 'speziellen Fall' jetzt verstehen? Ist das
> nicht immer so, dass die Anzahl der Minimalpolynome der
> Anzahl der möglichen JNF entspricht? Oder meinst du jezt
> auf das konkrete Beispiel bezogen?
> (Will nur sichergehen, dass ich mir nichts falsches merke.
> ^^)
>
Der spezielle Fall ist auf das konkrete Beispiel bezogen.
> Und wie genau kann ich die JNF mithilfe des char. Polynoms
> bzw. Minimalpolynoms ablesen?
>
Die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom
gibt die Länge der längsten Hauptvektorkette zum betreffen Eigenwert an.
Die Vielfachheit dieses Eigenwertes im charakteristischen Polynom
gibt die Gesamtlänge aller Hauptvektorketten an.
Bei einer Länge der längsten Hauptvektorkette von 2 und
einer Gesamtlänge aller Hauptvektorketten zu diesem Eigenwert von 4
gibt es 2 Möglichkeiten wie sich die Hauptvektorketten aufbauen:
- 2 Hauptvektorketten der Länge 1, 1 Hauptvektorkette der Länge 2
- 2 Hauptvektorketten der Länge 2
> >
> >
> > > > > Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
> > > > > Danke
> > > > > Grüße Belleci
> > > > >
> > > > Gruß
> > > > wieschoo
> > >
> > >
> > > Grüße Belleci
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Grüße Belleci
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 19.05.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo MathePower
*erst mal ein bisschen 'aufräumen'*
> > > Und noch ein letztes Beispiel. Wenn z.B.
> > > [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] ist. Gleiche Frage wie
> > > davor.
> > > Können auch (t-a) bzw. (t+a) Minimalpolynome sein?
> > Die letzten genannten können kein Minimalpolynom von der
> > Matrix mit charak. Polynom [mm]P_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2[/mm] sein.
> > > Oder sind hier mögliche Minimalpolynome 'nur'
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)^2,[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a)^2,[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a)^2,[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)(t+a),[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^2(t+a),[/mm]
> > > [mm]m_C(t)=(t-a)^3(t+a)[/mm]
> > Ja genau alle Polynome vom Grad [mm]\leq 5[/mm] mit
> > Linearfaktoren [mm]t-a,t+a[/mm].
> > > >
> > > > Hätte dann noch eine Frage.
> > > > Wie kann man die Jordan Normalformen von den
> > > > Minimalpolynomen ablesen?
> > > > Wenn man als Beispiel das letzte char. Polynom
> von
> > hier
> > > > nimmt. Es gibt ja dann 6 mögliche Minimalpolynome, gibt es
> > > > dann 6 möglich Jordan Normalformen?
> > > >
> > >
> > >
> > > Hier im speziellen Fall trifft das zu.
> > >
> >
> >
> > Wie soll ich 'speziellen Fall' jetzt verstehen? Ist das
> > nicht immer so, dass die Anzahl der Minimalpolynome der
> > Anzahl der möglichen JNF entspricht? Oder meinst du jezt
> > auf das konkrete Beispiel bezogen?
> > (Will nur sichergehen, dass ich mir nichts falsches
> merke.
> > ^^)
> >
>
>
> Der spezielle Fall ist auf das konkrete Beispiel bezogen.
>
>
> > Und wie genau kann ich die JNF mithilfe des char. Polynoms
> > bzw. Minimalpolynoms ablesen?
> >
>
>
> Die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom
> gibt die Länge der längsten Hauptvektorkette zum
> betreffen Eigenwert an.
>
> Die Vielfachheit dieses Eigenwertes im charakteristischen
> Polynom
> gibt die Gesamtlänge aller Hauptvektorketten an.
Ich habe Hauptvektorkette leider noch nie gehört, was genau ist das?
>
> Bei einer Länge der längsten Hauptvektorkette von 2 und
> einer Gesamtlänge aller Hauptvektorketten zu diesem
> Eigenwert von 4
> gibt es 2 Möglichkeiten wie sich die Hauptvektorketten
> aufbauen:
>
> - 2 Hauptvektorketten der Länge 1, 1 Hauptvektorkette der
> Länge 2
> - 2 Hauptvektorketten der Länge 2
>
>
Auch wenn ich icht genau weiß, was Hauptvektorkette ist, versuche ich mal dein Beispiel zu verstehen. Also Länge der längsten Hauptvektorkette ist zwei, also ist die Potenz des Eigenwertes beim Minimalpolynom 2? Stimmt das? Und beim char. Polynom ist die Potenz des Eigenwertes 4?
Ich glaube so ungefähr verstehe ich das, aber ich kann mir nicht genau vorstellen, wie die Matrix dazu aussieht?
Also wenn z.B. [mm] P_A(t)=(t-\lambda)^4 [/mm] und [mm] m_A(t)=(t-\lambda)^2 [/mm] (Müsste ja das Beispiel von dir sein?).
Wenn [mm] \lambda [/mm] der Eigenwert ist, und z.B. 2 Hauptvektorketten der Länge 2, ist das dann folgende Matrix?
[mm] \pmat{ \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda}
[/mm]
Stimmt das so? Wenn nicht könntest du dann bitte mal die zugehörige Matrix darstellen damit ich das richtig nachvollziehen kann?
> > >
> > >
> > > > > > Ich hoffe mich kann jemand etwas entwirren. :D
> > > > > > Danke
> > > > > > Grüße Belleci
> > > > > >
> > > > > Gruß
> > > > > wieschoo
> > > >
> > > >
> > > > Grüße Belleci
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> >
> > Grüße Belleci
>
>
> Gruss
> MathePower
Grüße Belleci
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Hallo Belleci,
> Hallo MathePower
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> *erst mal ein bisschen 'aufräumen'*
>
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> >
> > Der spezielle Fall ist auf das konkrete Beispiel bezogen.
> >
> >
> > > Und wie genau kann ich die JNF mithilfe des char. Polynoms
> > > bzw. Minimalpolynoms ablesen?
> > >
> >
> >
> > Die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom
> > gibt die Länge der längsten Hauptvektorkette zum
> > betreffen Eigenwert an.
> >
> > Die Vielfachheit dieses Eigenwertes im charakteristischen
> > Polynom
> > gibt die Gesamtlänge aller Hauptvektorketten an.
>
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> Ich habe Hauptvektorkette leider noch nie gehört, was
> genau ist das?
>
Hauptvektorkette ist im Zusammenhang mit [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptvektor]Hauptraum[/mm] zu sehen.
Ferner stammt der Begriff Hauptvektorkette aus der Theorie der linearen ![[]](/images/popup.gif) Differenentialgleichungssysteme und der Bildung eines Fundamentalsystems.
> >
> > Bei einer Länge der längsten Hauptvektorkette von 2 und
> > einer Gesamtlänge aller Hauptvektorketten zu diesem
> > Eigenwert von 4
> > gibt es 2 Möglichkeiten wie sich die Hauptvektorketten
> > aufbauen:
> >
> > - 2 Hauptvektorketten der Länge 1, 1 Hauptvektorkette der
> > Länge 2
> > - 2 Hauptvektorketten der Länge 2
> >
> >
>
>
> Auch wenn ich icht genau weiß, was Hauptvektorkette ist,
> versuche ich mal dein Beispiel zu verstehen. Also Länge
> der längsten Hauptvektorkette ist zwei, also ist die
> Potenz des Eigenwertes beim Minimalpolynom 2? Stimmt das?
> Und beim char. Polynom ist die Potenz des Eigenwertes 4?
> Ich glaube so ungefähr verstehe ich das, aber ich kann
> mir nicht genau vorstellen, wie die Matrix dazu aussieht?
> Also wenn z.B. [mm]P_A(t)=(t-\lambda)^4[/mm] und
> [mm]m_A(t)=(t-\lambda)^2[/mm] (Müsste ja das Beispiel von dir
> sein?).
> Wenn [mm]\lambda[/mm] der Eigenwert ist, und z.B. 2
> Hauptvektorketten der Länge 2, ist das dann folgende
> Matrix?
>
> [mm]\pmat{ \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda}[/mm]
>
> Stimmt das so? Wenn nicht könntest du dann bitte mal die
> zugehörige Matrix darstellen damit ich das richtig
> nachvollziehen kann?
>
Ja, die Matrix stimmt so.
> >
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> > Gruss
> > MathePower
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>
> Grüße Belleci
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Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 So 19.05.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo MathePower,
vielen Dank. Dann sind (erst mal) alle Fragen geklärt.
Schönen Abend noch. :)
Grüße Belleci
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