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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 10.06.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Bestimme das Minimalpolynom der Matrix
A = [mm] \pmat{ 5&1&&&&&& \\ &5&1&&&&& \\&&5&0&&&&\\&&&5&1&&&\\&&&&5&0&&\\&&&&&5&1&\\&&&&&&5&1\\&&&&&&&5 } [/mm] |
[mm] p_A [/mm] = [mm] (z-5)^8 [/mm]
-> Nustelle 5 mit algebraischer Vielfachheit 8
(A-5I) = [mm] \pmat{ 0&1&&&&&& \\ &0&1&&&&& \\&&0&0&&&&\\&&&0&1&&&\\&&&&0&0&&\\&&&&&0&1&\\&&&&&&0&1\\&&&&&&&0 }
[/mm]
Miniampolynom Teiler von [mm] p_a, [/mm] aber besitzt auch dessen Nullstelle.
Minialpolynom = [mm] m_A
[/mm]
[mm] m_a \in J_A
[/mm]
[mm] deg(m_A) [/mm] <= deg(p) für jedes 0 [mm] \not= [/mm] p [mm] \in J_A
[/mm]
[mm] J_a [/mm] := [mm] \{ p \in \IK[z]| p(A)=0 \}\not= \{0\}
[/mm]
Soweit die def, aber wie berechne ich dieses?
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Hallo,
> Bestimme das Minimalpolynom der Matrix
> A = [mm]\pmat{ 5&1&&&&&& \\ &5&1&&&&& \\&&5&0&&&&\\&&&5&1&&&\\&&&&5&0&&\\&&&&&5&1&\\&&&&&&5&1\\&&&&&&&5 }[/mm]
Diese Matrix ist in Jordan-Normalform, damit kannst Du das Minimalpolynom direkt ablesen!
>
> [mm]p_A[/mm] = [mm](z-5)^8[/mm]
> -> Nustelle 5 mit algebraischer Vielfachheit 8
>
> (A-5I) = [mm]\pmat{ 0&1&&&&&& \\ &0&1&&&&& \\&&0&0&&&&\\&&&0&1&&&\\&&&&0&0&&\\&&&&&0&1&\\&&&&&&0&1\\&&&&&&&0 }[/mm]
>
> Miniampolynom Teiler von [mm]p_a,[/mm] aber besitzt auch dessen
> Nullstelle.
> Minialpolynom = [mm]m_A[/mm]
>
> [mm]m_a \in J_A[/mm]
> [mm]deg(m_A)[/mm] <= deg(p) für jedes 0 [mm]\not=[/mm] p [mm]\in J_A[/mm]
>
> [mm]J_a[/mm] := [mm]\{ p \in \IK[z]| p(A)=0 \}\not= \{0\}[/mm]
>
> Soweit die def, aber wie berechne ich dieses?
Entweder über die Jordannormalform, oder indem Du die die Matrizen [mm] (A-5I)^k [/mm] berechnest für k=1,2,...
Aber der erste Weg ist hier klar der einfachere.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 10.06.2012 | | Autor: | quasimo |
Jordanform
3 Blöcke der Größe 3,2,3
Wie lese ich das nun ab?
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> Jordanform
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> 3 Blöcke der Größe 3,2,3
> Wie lese ich das nun ab?
Hast du das nicht in deinen Unterlagen stehen ?
Nimm zu jedem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] den größten Block mit Größe d.
Der Faktor [mm] (x-\lambda) [/mm] taucht im Minimalpolynom mit Vielfachheit d auf.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 So 10.06.2012 | | Autor: | quasimo |
> Nimm zu jedem Eigenwert $ [mm] \lambda [/mm] $ den größten Block mit Größe d.
> Der Faktor $ [mm] (x-\lambda) [/mm] $ taucht im Minimalpolynom mit Vielfachheit d auf.
Es gibt nur einen Eigenwert5
größte Block ist 3
[mm] m_A [/mm] = [mm] (\lambda-5)^3
[/mm]
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> > Nimm zu jedem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] den größten Block mit
> Größe d.
> > Der Faktor [mm](x-\lambda)[/mm] taucht im Minimalpolynom mit
> Vielfachheit d auf.
>
> Es gibt nur einen Eigenwert5
> größte Block ist 3
> [mm]m_A[/mm] = [mm](\lambda-5)^3[/mm]
Korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG
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