Minimalpolynom < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \in M_{2}(K). [/mm] Es gilt [mm] A^{2}=0 [/mm] und [mm] A+\lambda*E_{2} \not=0 [/mm] für alle [mm] \lambda \in [/mm] K, d.h. [mm] \mu_{A}=X^{2} [/mm] ist Minimalpolynom von A. Beachte: [mm] \mu_{A}=\chi_{A}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich versuche grad mir die Definition vom Minimalpolynom klarzumachen.In dem Beispiel oben steht, dass das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom ist. Ist also das MP immer einfach das CP? Wir hatten folgende Definition:
Sei A [mm] \in M_{n}(K). [/mm] Ein normiertes Polynom [mm] \mu \in K[X]\backslash\{0\} [/mm] heißt Minimalpolynom von A über K wenn [mm] \mu_{A}(A)=\phi_{M_{n}(K),A}*(\mu)_{A}=0 [/mm] und q(A) [mm] \not=0 [/mm] für jedes normierte Polynom q [mm] \in [/mm] K[X] mit deg q < deg [mm] \mu_{A}.
[/mm]
Ich verstehe nicht was mit [mm] \phi_{M_{n}(K),A}*(\mu)_{A} [/mm] gemeint ist. Welche Polynome sind das und wie finde ich die raus?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \in M_{2}(K).[/mm] Es gilt [mm]A^{2}=0[/mm] und
> [mm]A+\lambda*E_{2} \not=0[/mm] für alle [mm]\lambda \in[/mm] K, d.h.
> [mm]\mu_{A}=X^{2}[/mm] ist Minimalpolynom von A. Beachte:
> [mm]\mu_{A}=\chi_{A}.[/mm]
> Hallo zusammen^^
>
> Ich versuche grad mir die Definition vom Minimalpolynom
> klarzumachen.In dem Beispiel oben steht, dass das
> Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom ist.
> Ist also das MP immer einfach das CP? Wir hatten folgende
> Definition:
>
> Sei A [mm]\in M_{n}(K).[/mm] Ein normiertes Polynom [mm]\mu \in K[X]\backslash\{0\}[/mm]
> heißt Minimalpolynom von A über K wenn
> [mm]\mu_{A}(A)=\phi_{M_{n}(K),A}*(\mu)_{A}=0[/mm] und q(A) [mm]\not=0[/mm]
> für jedes normierte Polynom q [mm]\in[/mm] K[X] mit deg q < deg
> [mm]\mu_{A}.[/mm]
>
> Ich verstehe nicht was mit [mm]\phi_{M_{n}(K),A}*(\mu)_{A}[/mm]
> gemeint ist.
Hast Du da nicht etwas vermurkst ?
> Welche Polynome sind das und wie finde ich die
> raus?
Das Minimalpolynom p einer quadratischen [mm] n\times [/mm] n-Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass [mm] p\left(A\right)=0 [/mm] (die Nullmatrix) ist.
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich verstehe nicht was mit [mm]\phi_{M_{n}(K),A}*(\mu)_{A}[/mm]
> > gemeint ist.
>
> Hast Du da nicht etwas vermurkst ?
>
Ok, ich habs.Wir hatten es nur etwas anders aufgeschrieben.
> Das Minimalpolynom p einer quadratischen [mm]n\times[/mm] n-Matrix A
> über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten
> Grades mit Koeffizienten in K, so dass [mm]p\left(A\right)=0[/mm]
> (die Nullmatrix) ist.
Jetzt hab ichs verstanden.Werd noch ein bisschen üben, wie man es ausrechnet.
Vielen Dank
lg
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