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| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M_{nxn}(K) [/mm] eine nxn-Matrix und r der Grad des Minimalpolynoms von A. Zeigen Sie, dass dann [mm] {E,A,A^{2},...,A^{r}} [/mm] eine linear abhängige Teilmenge von [mm] M_{nxn}(K) [/mm] ist. |
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe das Gefühl überhaupt nicht zu verstehen wo der Knackpunkt bei dieser Aufgabe liegt. Vielleicht kann mir ja jemand einen Gedankenanstoß geben, wäre darüber sehr dankbar!
liebe Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 So 12.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in M_{nxn}(K)[/mm] eine nxn-Matrix und r der Grad des
> Minimalpolynoms von A. Zeigen Sie, dass dann
> [mm]{E,A,A^{2},...,A^{r}}[/mm] eine linear abhängige Teilmenge von
> [mm]M_{nxn}(K)[/mm] ist.
> Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe
> das Gefühl überhaupt nicht zu verstehen wo der Knackpunkt
> bei dieser Aufgabe liegt. Vielleicht kann mir ja jemand
> einen Gedankenanstoß geben, wäre darüber sehr dankbar!
Sei p das Minimalpolynoms von A. Nun gibt es einen Satz der besagt:
p(A)= ????
FRED
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> liebe Grüße!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank für die schnelle Reaktion :)
p(A) ist natürlich 0.
Das heißt einer der Faktoren in [mm] p(A)=(A-\lambda_{1})^{n_{1}}*(A-\lambda_{2})^{n_{2}}*...*(A-\lambda_{k})^{n_{k}} [/mm] ist 0, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 So 12.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Reaktion :)
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> p(A) ist natürlich 0.
> Das heißt einer der Faktoren in
> [mm]p(A)=(A-\lambda_{1})^{n_{1}}*(A-\lambda_{2})^{n_{2}}*...*(A-\lambda_{k})^{n_{k}}[/mm]
> ist 0, oder?
Unfug ! Es ist p(x) = [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_rx^r, [/mm] somit
0=p(A)= [mm] a_0E+a_1A+...+a_rA^r
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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Da ich lineare Abhängigkeit zeigen soll, wird die Gleichung erfüllt, ohne dass alle [mm] a_{i}'s [/mm] 0 sein müssen. Die sind ja auch nicht alle Null sonst wäre ja p(x) = 0 für alle x.
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