Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mi 25.02.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Sei $K:= [mm] \IQ (\sqrt{3},\sqrt{5})$
[/mm]
Bestimmen Sie Grad(K : [mm] \IQ)
[/mm]
Lösung: Es ist [mm] $Grad(K:\IQ) [/mm] = [mm] Grad(K:\IQ (\sqrt{3}))*Grad(\IQ(\sqrt{3}):\IQ) [/mm] = 2*2 =4$
|
Hallo. Ich verstehe zwei Sachen nicht:
1. warum in der Lösung oben gar kein [mm] \sqrt{5} [/mm] vorkommt
2. Wie ermittelt man die Grade davon?
Wir hatten [mm] \IQ(\sqrt{3}) [/mm] definiert als
[mm] $\IQ(\sqrt{3}) [/mm] = [mm] \{a+b\sqrt{3} : a,b \in \IQ \}$
[/mm]
Hier lese ich die Basis 1 und [mm] \sqrt{3} [/mm] ab.
Jetzt würde ich es so erklären, dass [mm] Grad(\IQ(\sqrt{3}):\IQ) [/mm] = 2, weil die Basis von [mm] \IQ(\sqrt{3} [/mm] eben 1 und [mm] \sqrt{3} [/mm] ist. Obwohl, das kann auch nicht sein, weil eine Basis von [mm] \IQ [/mm] könnte ich gar nicht bestimmen, hatte erst gedacht, dass [mm] \sqrt{3} \in \IQ
[/mm]
Also muss ich hier wohl das Minimalpolynom bestimmen. Jetzt weiß ich aber gar nicht, wie ich das mache.
Grüße,
valaida
|
|
| |
|
Hallo valaida,
> Sei [mm]K:= \IQ (\sqrt{3},\sqrt{5})[/mm]
>
> Bestimmen Sie Grad(K : [mm]\IQ)[/mm]
>
> Lösung: Es ist [mm]Grad(K:\IQ) = Grad(K:\IQ (\sqrt{3}))*Grad(\IQ(\sqrt{3}):\IQ) = 2*2 =4[/mm]
>
> Hallo. Ich verstehe zwei Sachen nicht:
>
> 1. warum in der Lösung oben gar kein [mm]\sqrt{5}[/mm] vorkommt
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") das steckt doch in dem $K$ mit drin ...
>
> 2. Wie ermittelt man die Grade davon?
>
> Wir hatten [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm] definiert als
>
> [mm]\IQ(\sqrt{3}) = \{a+b\sqrt{3} : a,b \in \IQ \}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hier lese ich die Basis 1 und [mm]\sqrt{3}[/mm] ab.
>
> Jetzt würde ich es so erklären, dass
> [mm]Grad(\IQ(\sqrt{3}):\IQ)[/mm] = 2, weil die Basis von
> [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm] eben 1 und [mm]\sqrt{3}[/mm] ist.
ganz genau!
> Obwohl, das kann auch nicht sein, weil eine Basis von [mm]\IQ[/mm] könnte ich gar nicht
> bestimmen, hatte erst gedacht, dass [mm]\sqrt{3} \in \IQ[/mm]
Natürlich nicht, aber es ist doch in [mm] $\IQ(\sqrt{3}): [/mm] \ \ [mm] \sqrt{3}=\red{0}+\red{1}\cdot{}\sqrt{3}$ [/mm] mit Koeffizienten [mm] $\red{0,1\in\IQ}$
[/mm]
[mm] $\{1,\sqrt{3}\}$ [/mm] ist eine Basis von [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum.
[/mm]
Du kannst [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] schreiben als Linearkombination von $1$ und [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] mit rationalen Koeffizienzen, quasi [mm] $\IQ(\sqrt{3})=1\cdot{}\IQ+\sqrt{3}\cdot{}\IQ$
[/mm]
>
> Also muss ich hier wohl das Minimalpolynom bestimmen. Jetzt
> weiß ich aber gar nicht, wie ich das mache.
Och?
Sei [mm] $\alpha=\sqrt{3}$, [/mm] dann ist [mm] $\alpha^2=3$, [/mm] also [mm] $\alpha^2-3=0$
[/mm]
Damit ist [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle (Wurzel) des Polynoms [mm] $x^2-3\in\IQ[x]$, [/mm] also mit Koeffizienten in [mm] $\IQ$
[/mm]
Warum ist es schon minimal? Also warum kann es kein Polynom 1.Grades geben mit Nullstelle [mm] $\alpha$?
[/mm]
Dann berechne mal das Minimalpolynom der Erweiterung [mm] $\underbrace{\IQ(\sqrt{3},\sqrt{5})}_{=\IQ(\sqrt{3})(\sqrt{5})}/\IQ(\sqrt{3})$
[/mm]
Dessen Koeffizienten sind aus [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] ...
>
> Grüße,
> valaida
>
LG
schachuzipus
|
|
|
|
