Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 30.09.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und F [mm] \in [/mm] End(V).
Zeige
Das Minimalpolynom Mf zerfällt in Linearfaktoren <==> Das charakteristische Polynom Pf zerfällt in Linearfaktorn |
Also die <== richtung ist klar. Denn Nach dem Satz von Caly Hamilton gilt, dass Mf Pf teilt, und wenn k eine Nullstelle von Pf ist so ist k auch Nullstelle von Mf. Mf muss kleiner gleich sein als Pf also zerfällt es auch in Linearfaktoren.
Die ==> Richtung verstehe ich nicht.
Angenommen in Pf ist ein Irreduzibler faktor. Der Irriduzible Faktor muss dann nicht in Mf enthalten sein, da es keine Nullstelle von Pf ist oder? Also könnte Mf doch in linearfaktoren zerfallen?
Versteh nicht wieso diese Richtung gelten sollte..
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> Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und F [mm]\in[/mm]
> End(V).
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> Zeige
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> Das Minimalpolynom Mf zerfällt in Linearfaktoren <==> Das
> charakteristische Polynom Pf zerfällt in Linearfaktorn
> Die ==> Richtung verstehe ich nicht.
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> Angenommen in Pf ist ein Irreduzibler faktor. Der
> Irriduzible Faktor muss dann nicht in Mf enthalten sein, da
> es keine Nullstelle von Pf ist oder? Also könnte Mf doch in
> linearfaktoren zerfallen?
>
> Versteh nicht wieso diese Richtung gelten sollte..
Hallo,
schau mal in Deine Unterlagen, Mitschrift o.ä..
Da wirst Du folgendes finden: ist q ein irreduzibles Polynom, so gilt
q teilt [mm] M_f [/mm] <==> q teilt [mm] P_f.
[/mm]
Nach den Studium des Beweises wirst Du überzeugt sein, daß obiges Szenarion nicht vorkommen kann.
Gruß v. Angela
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