Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 25.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Für das Minimalpolynom fa von a in K über L der Körpererweiterung
K|L beweise man
(a) fa ist irreduzibel in L[x] und
(b) [L(a) : L] = deg(fa).
a ist doch eigentlich trivial oder, denn wenn es das Minimalpolynom ist, dann ist es auch irreduzibel oder nicht ? Was soll ich da zeigen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Für das Minimalpolynom fa von a in K über L der
> Körpererweiterung
> K|L beweise man
> (a) fa ist irreduzibel in L[x] und
> (b) [L(a) : L] = deg(fa).
>
> a ist doch eigentlich trivial oder, denn wenn es das
> Minimalpolynom ist, dann ist es auch irreduzibel oder nicht
Das Minimalpolynom ist nicht per Definitionem irreduzibel. Es ist das kleinste Polynom (klein im Sinne von kleinstem Grad) mit Koeffizienten in L, das a als Nullstelle besitzt (sofern a algebraisch ist über L).
Wäre $p(x)$ reduzibel in L[x], [mm] $p(x)=q(x)\cdot [/mm] r(x)$, dann müsste aus p(a)=0=q(a)r(a) entweder q(a)=0 oder r(a)=0 folgen, p wäre also nicht minimal.
mfG Moudi
> ? Was soll ich da zeigen ?
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:21 Di 25.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Und wie soll ich das dann zeigen ? Das Gegenbeispiele von dir leuchtet mir ein. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Phlipper!
Häh? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Moudi hat doch kein Gegenbeispiel gegeben, sondern die a) gelöst.
Er wollte nur sagen, dass es nicht direkt aus der Definition folgt.
Hast du selber Ansätze zur b)?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
ich meinte als Gegenbeispiel zu meiner Aussage, war dumm ausgedrückt, da hast du recht,sorry !
zu b) also deg(fa) ist der Grad des Polynoms. Wie soll ich das fa auffassen,also ich meine was bedeutet das a ? Bedeutet es,dass f(a) = 0 ? Sicher nicht. Und wie darf ich L(a) verstehen ?
Wäre nett,wenn ihr nochmal kurz was dazu schreibt, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Do 27.01.2005 | | Autor: | moudi |
> ich meinte als Gegenbeispiel zu meiner Aussage, war dumm
> ausgedrückt, da hast du recht,sorry !
>
> zu b) also deg(fa) ist der Grad des Polynoms. Wie soll ich
> das fa auffassen,also ich meine was bedeutet das a ?
[mm] $f_a=f_a(x)$ [/mm] ist ein Polynom, also [mm] $f_a(x)\in [/mm] L[x]$ und [mm] $f_a(x)$ [/mm] ist irreduzibel und
a ist Nullstelle von [mm] $f_a$, [/mm] also [mm] $f_a(a)=0$.
[/mm]
> Bedeutet es,dass f(a) = 0 ? Sicher nicht. Und wie darf ich
> L(a) verstehen ?
L(a) ist der kleinste Teilkörper von K, der den Körper L und die Zahl a enthält.
Der Grad [L(a):L] ist die L-dimension des Körpers L(a), da L(a) auch ein L-Vektorraum ist.
mfG Moudi
>
> Wäre nett,wenn ihr nochmal kurz was dazu schreibt, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Do 27.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Danke für die schnelle Antwort. Also ist L(a) ein größerer Körper als L, weil er a auch enthält. Richtig ? Aber wie groß ist denn der Grad von [L(a) : L]. Kannst du mir evtl. mal ein Beispiel angeben, das wäre toll. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 27.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Danke für die schnelle Antwort. Also ist L(a) ein größerer
> Körper als L, weil er a auch enthält. Richtig ? Aber wie
> groß ist denn der Grad von [L(a) : L]. Kannst du mir evtl.
> mal ein Beispiel angeben, das wäre toll. Danke.
Nehmen wir als Beispiel [mm] $\IQ(\sqrt[3]2)\subset\IR$.
[/mm]
Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[3]2$ [/mm] ist [mm] $x^3-2$. [/mm] Dieses Polynom ist irreduzibel (kann mit dem Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein gezeigt werden) und [mm] $\sqrt[3]2$ [/mm] ist Nullstelle.
[mm] $\IQ(\sqrt[3]2)$ [/mm] ist jetzt ein [mm] $\IQ$-Vektorraum. [/mm] Eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von [mm] $\IQ(\sqrt[3]2)$ [/mm] ist gegeben durch die drei "Vektoren" [mm] $1,\sqrt[3]2,(\sqrt[3]2)^2$.
[/mm]
Beweis: Wären [mm] $1,\sqrt[3]2,(\sqrt[3]2)^2$ [/mm] linear abhängig, dann würde es drei rationale Zahlen
[mm] $a_1, a_2, a_3$ [/mm] geben (wobei nicht alle drei gleich 0 sind) mit [mm] $a_1+a_2\sqrt[3]2+a_3(\sqrt[3]2)^2=0$.
[/mm]
Das heisst, aber, dass [mm] $\sqrt[3]2$ [/mm] Nullstelle des Polynoms [mm] $a_1+a_2x+a_3x^2$ [/mm] wäre, was einen Widerspruch ist zur Tatsache, dass [mm] $x^3-2$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[3]2$ [/mm] ist.
Weiter ist zu zeigen, dass [mm] $1,\sqrt[3]2,(\sqrt[3]2)^2$ [/mm] den [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IQ(\sqrt[3]2)$ [/mm] erzeugen.
Das folgt allgemein daraus, dass der Körper [mm] $\IQ(\sqrt[3]2)$ [/mm] isomorph ist zum Körper [mm] $\IQ[x]/(x^3-2)$, [/mm] wobei [mm] $(x^3-2)$ [/mm] das vom Polynom erzeugte Ideal ist. Weil [mm] $x^3-2$ [/mm] irreduzibel ist, ist das erzeugte Hauptideal maximal [mm] ($\IQ [/mm] [x]$ ist eine Hauptidealbereich).
So, die weiteren Details kannst du ja auch in Büchern nachlesen.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Danke für das Beispiel,jetzt komme ich dem Verständnis weiter. also [L(a) : L] = 3,weil du diese drei Basen hinzugefügt hast. Und der Grad von dem Minimalpolynom [mm] x^{3}-2 [/mm] ist auch 3, klar.
Aber kann mir trotzdem noch keinen Reim darauf machen,wie ich das allgemein zeigen kann. Kannst du mir evtl. einen Ansatztipp geben ? Das wäre super. Ich würde ja gern einen Lösungsansatz schreiben....aber komme nicht drauf. Ich werde heute Abend nochmal versuchen, wenn ich auf etwas komme,schrei´be ich es, ansonsten würde ich mich sehr über einen Hilfe freuen. Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 29.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Phlipper
Wenn $f(x)$ das Minimalpolynom vom Grad n von a ist, dann kann man zeigen, dass [mm] $1,a,a^2,\dots,a^{n-1}$ [/mm] eine L-Bais von L(a) ist.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 01.02.2005 | | Autor: | Phlipper |
Habe es gestern und heute probiert,aber ich weiß nicht,wie ich das zeigen kann,was du in deinem letzten Post geschrieben hast, denn das wäre ja die Lösung für meine Aufgabe. Kannst du bitte nochmal was dazu schreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Sa 05.02.2005 | | Autor: | moudi |
Zuerst zeige ich die lineare Unabhängigkeit:
Ist [mm] $t_0+t_1a+t_2a^2+\dots+t_{n-1}a^{n-1}=0$ [/mm] eine nichttriviale Linearkombination mit Koeffizienten in L, die 0 ergibt, dann wäre [mm] $t_0+t_1x+t_2x^2+\dots+t_{n-1}x^{n-1}$ [/mm] ein Polynom vom Grad <n mit Koeffizienten in L, das a als Nullstelle besitzt, ein Widerspruch zur Tatsache, dass das Minimalpolynom den Grad n hat.
Die Erzeugung:
Die Abbildung [mm] $L[x]\to [/mm] K$ die erzeugt wird, dass x auf a abgebildet wird (ein Polynom f(x) wird dann auf f(a) abgebildet) ist ein Ringhomomorphismus. Der Kern dieser Abbildung ist ein Ideal in L[x]. Da L[x] ein Hauptidealbereich ist, wird es von einem Polynom erzeugt. Dieses Polynom ist natürlich das Minimalpolynom. Weil das Minimalpolynom irreduzibel ist, ist das Ideal maximal und deshalb ist $L[x]/(f(x))$ ein Körper.
Mit anderen Worten L(a) ist isomorph zu $L[x]/(f(x))$. (L(a) ist gerade das Bild von L[x] unter dem Ringhomomorphismus).
L[x] ist ein unendlich dimensionaler L-Vektorraum mit Basis [mm] $1,x,x^2,x^3,...$. [/mm] Der Ringhomomorphismis von oben ist auch ein L-Vektorraum-Homomorphismus. Deshalb ist [mm] $1,a,a^2,a^3,\dots$ [/mm] ein Erzeugendensystem von L(a) als L-Vektorraum. Jetzt ist aber [mm] $a^n$ [/mm] linear abhängig von [mm] $1,a,a^2,\dots,a^{n-1}$ [/mm] (Wieso?)
Ist [mm] $t_0+t_1x+\dots+t_{n-1}x^{n-1}+x^n$ [/mm] das Minimalpolynom, so gilt ja [mm] $t_0+t_1a+\dots+t_{n-1}a^{n-1}+a^n=0$ [/mm] und daraus erhält man [mm] $a^n=-t_0-t_1a-\dots-t_{n-1}a^{n-1}$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $1,a,a^2,\dots,a^{n-1}$.
[/mm]
Multipliziert man die Gleichung [mm] $a^n=-t_0-t_1a-\dots-t_{n-1}a^{n-1}$ [/mm] mit a, so erhält man [mm] $a^{n+1}$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $a,a^2,a^3,\dots,a^{n}$, [/mm] wobei [mm] $a^n$ [/mm] selber eine Linearkombination von [mm] $,a,a^2,\dots,a^{n-1}$ [/mm] ist, etc.
mfG Moudi
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