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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | | Es seien [mm] \lambda \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] beliebig. Man bestimme das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom des sogenannten Jordanblocks: J= [mm] \pmat{ \lambda & 1 & 0..........0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & 0...\\ 0 &...........\\ ...............\\............ &..... & ..........& .....&......0 \\............& ......&......&............\lambda & 1 \\ 0.........&.....&......& 0 & \lambda } \in \IR^{nxn} [/mm] und zeige, dass [mm] \mu_{j} [/mm] = [mm] x_{j} [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich weiß zwar wie man das charakter.Polynom und das minimale Polynom berechnet, aber mit dieser Aufgabe komm ich nicht klar.
[mm] p_{j}= (\lambda_{1}-z)^a{1}(\lambda_{2}-z)^a{2}..........(\lambda_{k}-z)^a{k} [/mm]
und
[mm] \mu_{j}= (\lambda_{1}-z)^b{1}(\lambda_{2}-z)^b{2}..........(\lambda_{k}-z)^b{k} [/mm] mit i [mm] \le b_{i} \le a_{i} [/mm] für i=1,.....,k
Habe erst mal mit den Formeln angefangen, würdet ihr mir einen weiteren Tipp geben, wäre ich überglücklich.
Danke im Voraus
Gina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Mo 28.04.2014 | | Autor: | hippias |
In der Mathematik steht und faellt vieles mit der Kenntnis der Definition der Begriffe. Daher wuerde ich dich bitten mitzuteilen, wie das charakteristische und Minimal-Polynom einer Matrix bei dir definiert wurde.
Die Aufgabe direkt mittels Linearfaktorzerlegung anzugehen gefaellt mir nicht sehr, ist aber durchfuehrbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Das charakt.Polynom von A ist die Abb. [mm] X_{A}: [/mm] von K nach K (Körper) und [mm] \lambda [/mm] wird auf [mm] det(\lambda E_{n}-A) [/mm] abgebildet.
Das Minimalpolynom von A über K ist ein normiertes Polynom [mm] \mu_{A}\in K[X]\setminus\{0\}, [/mm] wenn [mm] \mu_{A}(A)=0 [/mm] und [mm] q(A)\not=0 [/mm] für alle [mm] q\in K[X]\setminus\{0\}, [/mm] deg q < deg [mm] \mu_{A} [/mm]
Aber da es ein Jordanblock gegeben ist, sollte man vl mit Jordan-Kästchen bzw Jordan Normalform weiter machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mo 28.04.2014 | | Autor: | hippias |
Gut. Dann bestimme das charakteristische Polynom fuer die gegebene Matrix, indem Du einfach die Definition anwendest. Wenn man es ganz ordentlich machen moechte, muesste man wohl eine Induktion durchfuehren, aber ohne duerfte es wohl auch in Ordnung gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Wäre dann [mm] p_{j}(z)=(\lambda-z)^a_{1}(\lambda-z)^a_{2}........(\lambda-z)^a_{k}, [/mm] da alle [mm] \lambda [/mm] gleich sind, laufen die ohne Index. Oder muss dann a auch ohne Index sein?
Wie fange ich dann mit der Induktion an? Für z gleich 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mo 28.04.2014 | | Autor: | hippias |
Berechne bitte [mm] $\det(zI-J)$, [/mm] wobei $I$ Einheitsmatrix und $J$ der Jordanblock. Induktion waere zweckmaessig nach der Groesse der Matrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Die det(zI-J)= [mm] (z-\lambda)^n
[/mm]
Und ab hier kann ich jetzt mit Induktionsbeweis anfangen (falls die det richtig ist) oder soll ich genauso das Minimalpolynom berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Di 29.04.2014 | | Autor: | hippias |
Dein charakteristisches Polynom hast Du jetzt richtig bestimmt. Darueberhinaus hast Du auch Deine vorhergehende Frage selbst beantwortet.
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