Minimaler Kruemmungskreisrad. < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildung zeigt im Massstab 1:30000 die Strassenmittenverlaeufe zweier Kreisverkehre, fuer die ein geeigneter Uebergangsbogen zwischen den Punkten U1(0/0) und U2(4/2) gefunden werden soll. Als "geeignet" werden Kurven akzeptiert, die glatt und ohne Kruemmungsspruenge an die vorhandenen Kreise anschliessen.
1) Ermitteln Sie eine Polynomfunktion moeglichst geringen Grades, deren Graph eine geeignete Uebergangskurve liefert.
Bestimmen Sie die Hoechstgeschwindigkeit, mit der die von Ihnen ermittelte Uebergangskurve durchfahren werden darf. Verwenden Sie dazu die Faustformel
v(max) [mm] \approx [/mm] (174 * [mm] r(min))^0,41,
[/mm]
wobei r(min) der minimale Kruemmungskreisradius in diesem Bereich ist. |
Der erste Teilbereich stellte kein Problem dar, da hier nur die gegebenen 6 Eigenschaften verarbeitet werden mussten, um eine Funktion fuenften Grades zu erhalten.
f(x)= [mm] 3/256*x^5-11/128*x^4+1/16*x^3+1/2*x^2
[/mm]
Der zweite Teil gestaltet sich fuer mich nun jedoch schwierig bis unmoeglich, da ich das Thema "Kruemmung" nicht wirklich verstanden habe und wir dieses auch erst in den letzten Wochen behandelt haben.
Das nun benoetigte r(min) muesste m.M.n. ja nun mit der gaengigen Formel ausgerechnet werden, die waere
r(x)= [mm] ((1+(f'(x))^2)^{3/2}) [/mm] / f"(x)
Hier erhalte ich mithilfe meines GTR dann folgende Gleichung fuer den Kruemmungskreisradius:
r(x) = [mm] ((225*x^8-2640*x^7+9184*x^6-768*x^5-42752*x^4+24576*x^3+65536*x^2+65536)^{3/2}) [/mm] / [mm] 262144*(15*x^3-66*x^2+24*x+64
[/mm]
Diese Gleichung sieht mir jedoch schon ein wenig seltsam aus.
Wenn ich aus dieser nun Extrema ermitteln moechte (mit GTR) erhalte ich als Ergebnis, dass es keine gaebe.
Die Loesung des Buches jedoch ist folgende (ohne naehere Erlaeuterung):
An der Stelle x [mm] \approx [/mm] 0,073, also gleich nach dem ersten Viertelkreis, ergibt sich die Maximalkruemmung k(max) [mm] \approx [/mm] 1,01 und somit r(min) [mm] \approx [/mm] 0,99 [mm] \hat= [/mm] 295,96 m.
Ich wuerde nun sehr dankbar sein, falls mir irgendjemand den Weg dorthin erklaeren, bzw. mir aufzeigen koennte, was an meinem Ansatz falsch ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Fr 14.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Monsieur10,
ohne etwas nachzurechnen vermute ich, dass Du alles richtig gemacht hast. Es fehlt nur der letzte Schritt:
Du sollst ja das globale Extremum suchen. Dazu mußt Du immer auch die Endpunkte des Intervalls betrachten. Da Du kein lokales Extremum gefunden hast, mußt Du also die Lösung an einem der beiden Endpunkte suchen. Setze diese also ein und vergleiche die beiden Werte für die Krümmungen.
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