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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | | Sei s [mm] \in S_{2}^3 [/mm] ein kubischer Interpolationsspline zu den Daten [mm] (x_i,y_i), [/mm] i=0,...,n, auf einem Gitter [mm] x_0 [/mm] < ... < [mm] x_n, [/mm] mit den Randbedingungen [mm] s''(x_0) [/mm] = [mm] s''(x_n) [/mm] = 0. Zeige, dass für jede Funktion f [mm] \in C^2 [/mm] mit [mm] f(x_i) [/mm] = [mm] y_i, [/mm] i=0,...,n gilt [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{(f''(x) - s''(x))^2 dx} [/mm] = [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)^2 dx} [/mm] - [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{s''(x)^2 dx} [/mm] |
Halli Hallo!
Ich habe folgendes gemacht:
[mm] \integral_{x_0}^{x_n}{(f''(x)-s''(x))^2 dx} [/mm] =
[mm] \integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)^2 dx} [/mm] - 2 * [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)s''(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{s''(x) dx}
[/mm]
Daraus wird nun laut wikipedia folgender Ausdruck gemacht:
[mm] \integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)^2 dx} [/mm] - 2* [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{(f'(x)-s'(x))*s''(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{x_0}^{x_n}{s''(x)^2 dx}
[/mm]
Diese Umformung ist mir nun ein Rätsel :S
Könnt ihr mir da helfen?
vielen Dank im voraus.
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> Sei s [mm]\in S_{2}^3[/mm] ein kubischer Interpolationsspline zu den
> Daten [mm](x_i,y_i),[/mm] i=0,...,n, auf einem Gitter [mm]x_0[/mm] < ... <
> [mm]x_n,[/mm] mit den Randbedingungen [mm]s''(x_0)[/mm] = [mm]s''(x_n)[/mm] = 0.
> Zeige, dass für jede Funktion f [mm]\in C^2[/mm] mit [mm]f(x_i)[/mm] = [mm]y_i,[/mm]
> i=0,...,n gilt [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{(f''(x) - s''(x))^2 dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)^2 dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{s''(x)^2 dx}[/mm]
> Halli Hallo!
>
> Ich habe folgendes gemacht:
> [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{(f''(x)-s''(x))^2 dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)^2 dx}[/mm] - 2 *
> [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)s''(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{s''^{\red{2}}(x) dx}[/mm]
>
> Daraus wird nun laut wikipedia folgender Ausdruck gemacht:
>
> [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{f''(x)^2 dx}[/mm] - 2*[mm]\integral_{x_0}^{x_n}{(f'(x)-s'(x))*s''(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{x_0}^{x_n}{s''(x)^2 dx}[/mm]
>
> Diese Umformung ist mir nun ein Rätsel :S
> Könnt ihr mir da helfen?
Hallo,
das ist ein Tippfehler. In der Klammer muß (f''(x)-s''(x)) stehen, dann stimmt alles.
Nun wird man sicher integrieren müssen.
LG Angela
>
> vielen Dank im voraus.
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