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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 06.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei [mm] J=\{U \subset M \mid \forall x \in U \exists \varepsilon > 0: B_(\varepsilon) (x) \subset U \} \subset [/mm] P(M) die Menge der offenen Teilmengen von M.
Zeigen sie (a) leere Menge und M [mm] \epsilon [/mm] J
(b) Für [mm] U_1 ,...,U_k \epsilon [/mm] J ist auch [mm] U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_k \epsilon [/mm] J
(c) Sei K [mm] \subset [/mm] J , dann ist auch [mm] \bigcup [/mm] K [mm] \epslion [/mm] J [mm] [\latex] [/mm] |
ich kann leider mit dieser Aufgabe nichts anfangen. hab mir folgendes überlegt, da ja die menge J teilmenge der potzenmenge von m ist ist ja die leere menge auf jeden fall in J enthalten, da die leere Menge Teilmenge aller Mengen ist. und da da M enthalten ist in der Menge J also U teilmenge M ist ja M schon automatisch element J hab ich das soweit richtig verstanden.? zu (b) [mm] U_1 [/mm] bis [mm] U_k [/mm] sind elemente Von J, dann sollen auch die vereinigungen von [mm] U_1 [/mm] bis [mm] U_k [/mm] in J enthalten sein,.. wie könnt ich mathematisch an diesen teil rangehn?
vielen dank schonmal im vorraus für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei [mm]J=\{U \subset M \mid \forall x \in U \exists \varepsilon > 0: B_{(\varepsilon)} (x) \subset U \} \subset P(M) [/mm] die Menge der offenen Teilmengen von M.
> Zeigen sie (a) leere Menge und M [mm]\epsilon[/mm] J
> (b) Für [mm]U_1 ,...,U_k \epsilon[/mm] J ist auch [mm]U_1 \cap\dots\cap U_k \epsilon J[/mm]
> (c) Sei K [mm]\subset[/mm] J , dann ist auch [mm]\bigcup[/mm] K [mm]\epsilon[/mm] J
>
> ich kann leider mit dieser Aufgabe nichts anfangen. hab
> mir folgendes überlegt, da ja die menge J teilmenge der
> potzenmenge von m ist ist ja die leere menge auf jeden
> fall in J enthalten, da die leere Menge Teilmenge aller
> Mengen ist. und da da M enthalten ist in der Menge J also U
> teilmenge M ist ja M schon automatisch element J hab ich
> das soweit richtig verstanden.?
Nein, ich glaube, da hast du die beiden Aussagen [mm]\emptyset\subset J[/mm] und [mm]\emptyset\in J[/mm] verwechselt.
Natürlich ist die leere Menge ein Element der Potenzmenge, aber du kannst schon eine Teilmenge der Potenzmenge haben, die die leere Menge nicht enthält.
Nimm dir die Definition her: eine Teilmenge [mm]U \subset M [/mm] ist eine offene Menge, wenn es für jedes Element [mm]x\in U[/mm] eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung [mm]B_{(\varepsilon)} (x)[/mm] gibt, die ganz in U liegt.
Und jetzt frage dich: ist diese Bedingung erfüllt für
a) [mm]\emptyset[/mm]
b) M selbst?
Für die leere Menge ist es der Fall, denn sie hat keine Elemente, also ist die Aussage für alle ihre Elemente wahr.
Wie zeigst du es für M selbst?
> zu (b) [mm]U_1[/mm] bis [mm]U_k[/mm] sind
> elemente Von J, dann sollen auch die vereinigungen von [mm]U_1[/mm]
> bis [mm]U_k[/mm] in J enthalten sein,.. wie könnt ich mathematisch
> an diesen teil rangehn?
Das ist zwar richtig, aber erst in (c) gefragt. In (b) sollst du es für den Durchschnitt zeigen. Zeige es zunächst für zwei Mengen [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm]. Beide sind offen, also gibt es für jedes x in [mm]U_1[/mm] bzw. [mm]U_2[/mm] eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von, die ganz in [mm]U_1[/mm] bzw. [mm]U_2[/mm] liegt.
Überlege dir, was für die [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm] gilt, das sind diejenigen x, für die sowohl [mm]x\in U_1[/mm] als auch [mm]x\in U_2[/mm] gilt.
In (c) wird dann nach der Vereinigung beliebig vieler offener Mengen gefragt. Auch hier überlegst du dir am Besten erst einmal einen Beweis für die Vereinigung zweier Mengen.
Viele Grüße
Rainer
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