Metrischer Raum < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei X:= IN, d(m,n) := [mm] |\bruch{1}{m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}| [/mm] (m, n [mm] \in\ [/mm] IN). Geben Sie die Menge aller stetigen Funktionen f: IN -> IR an.
b) Wir erweitern den metrischen Raum aus a) durch X := IN [mm] \cup [/mm] \ { [mm] \omega\} [/mm] und [mm] d(\omega\, \omega\ [/mm] ) =0, d(m, [mm] \omega\ [/mm] )= [mm] d(\omega\, [/mm] m) := [mm] \bruch{1}{m} [/mm] (m [mm] \in\ [/mm] IN). Warum erfüllt die erweiterte Metrik die Dreiecksungleichung ?
b) Wie sehen die stetigen reellwertigen Funktionen auf dem erweiterten metrischen Raum aus b) aus? |
Hi!! Ich brauche dringend Hilfe für diese Aufgabe! Ich habe schon einige Ansätze versucht, komm aber einfach nicht auf den richtigen!! Ich hoffe, dass mir jemand bei den Aufgaben helfen kann!!
Ich bedanke mich schonmal im Voraus für die Hilfe!
MfG, SusiSunny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 13.12.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Ich bin trotz des abgelaufenen Fälligkeitszeitraum noch an der Lösung interessiert!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 13.12.2006 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich geb mal ein paar Tips ...
> a) Sei X:= IN, d(m,n) := [mm]|\bruch{1}{m}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}|[/mm] (m,
> n [mm]\in\[/mm] IN). Geben Sie die Menge aller stetigen Funktionen
> f: IN -> IR an.
Stetigkeit ist Folgenstetigkeit - also zuerst mal überlegen: was sind denn die konvergenten Folgen in diesen Raum? Weißt du das? Jetzt nimm eine beliebige Funktion her ...
> b) Wir erweitern den metrischen Raum aus a) durch X := IN
> [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ { [mm]\omega\}[/mm] und [mm]d(\omega\, \omega\[/mm] ) =0, d(m, [mm]\omega\[/mm]
> )= [mm]d(\omega\,[/mm] m) := [mm]\bruch{1}{m}[/mm] (m [mm]\in\[/mm] IN). Warum erfüllt
> die erweiterte Metrik die Dreiecksungleichung ?
Fallunterscheidung.
> b) Wie sehen die stetigen reellwertigen Funktionen auf dem
> erweiterten metrischen Raum aus b) aus?
Was passiert jetzt im Gegensatz zu a)? Was bedeutet es denn, wenn eine Folge konvergiert?
SEcki
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