Metrische Räume < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Do 23.04.2009 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\rho) [/mm] ein metrischer Raum, [mm] M\subset [/mm] X und [mm] x\in [/mm] X. Zeigen Sie
a) x ist Berührungspunkt von M [mm] \gdw [/mm] es existiert [mm] (x_k)^{\infty}_{k=1} [/mm] Folge in M : lim [mm] x_k=x.
[/mm]
b) x ist Häufungspunkt von M [mm] \gdw [/mm] es existiert [mm] (x_k)^{\infty}_{k=1} [/mm] injektive Folge in M: lim [mm] x_k=x. [/mm] |
Hallo, Zusammen!
Ich käpfe grade durch diese Aufgabe hindurch, komme aber kein milimeter voran! Könnte mir vielleicht jemand helfen!!!! Die Definitionen von Häufungspunkt und Berührungspunkt habe ich verstanden, aber wie ich von Berührungspunk bzw Häufungspunkt zu einer Folge übergehen kann, verstehe ich nicht!!
Bitte-bitte, jemand, Hilfe!!!!!!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch mal Die Def von Beruehrpkt auf UND die Def. von lim [mm] x_k=x [/mm] daraus musst du dann den Beweis einfach zusammenbasteln.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 23.04.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, leduart!!Danke für deine Antwort!!
Hier versuche ich den Beweis zusammenzubasteln:
Def. von Berührungspunkt:
x- Berürungspunkt von M ßgdw jede Umgebung von [mm] x\in [/mm] X enthält mindestens einen Punkt aus M.
Def. von lim [mm] x_k=x [/mm] :
Folge [mm] (x_k)^\infty_{k=1} [/mm] in [mm] (X,\rho) [/mm] hat den Grenzwert [mm] x\inX, [/mm] wenn [mm] \rho(x, x_k)\to0 [/mm] für [mm] k\to \infty.
[/mm]
Also wenn x Berührungspunkt von M ist, dann [mm] x\in [/mm] M, da aber jeder Berührungspunkt von M auch ihr Häufungspunkt sein kann => für jede Umgebung von x existiert y [mm] \in [/mm] U: [mm] y\in [/mm] M \ {x}, also es existiert eine Folge [mm] (x_k)^\infty_{k=1} [/mm] in M : lim [mm] x_k=x.
[/mm]
kann ich a) so beweisen?
Danke schön!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beweis ist nicht falsch, aber so allgemein, dass ich ihn nicht verfolgen kann
Konstruier doch einfach eine Folge [mm] x_k, [/mm] mit [mm] |x-x_k|<\epsilon_k
[/mm]
die Def. von lim ist so schlecht gewaehlt. genauer ist : zu jedem [mm] \epsilon [/mm] existiert ein [mm] N(\epsilon) [/mm] mit [mm] |x-x_k|<\epsilon [/mm] fuer alle k>N.
aus der Eigenschaft dass M Beruehrpkt ist. Du musst nur eine Folge von Umgebungen nehmen und daraus jeweils ein [mm] x_k.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 23.04.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, leduart!!
Ich hab hier noch einen Beweis nach deinem Tipp zusammengestellt, bin aber nicht so sicher ob es gelungen ist...:
x Berührpunkt von M,
nach Def. von Berührpunkt jede Umgebung von x enthält einen Punkt aus M, also es existiert eine Folge der Punkte in M [mm] (x_k)^{\infty}_{k=1}, [/mm] so dass für jedes [mm] \epsilon_k>0 [/mm] für jedes [mm] k\in\IN [/mm] existiert K [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] k\ge [/mm] K [mm] |x-x_k|<\epsilon_k.
[/mm]
Ohne Einschränkung sei [mm] \epsilon_k= \bruch{1}{k}>0
[/mm]
Man betrachte die Folge [mm] \epsilon_k, [/mm] wenn [mm] k\to \infty, [/mm] also [mm] lim\epsilon_k=lim \bruch{1}{k}=0 [/mm] => es existiert ein [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\epsilon_k=\limes_{k\rightarrow\infty}|x-x_k|=0, [/mm] somit ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_k=x.
[/mm]
Ist es soweit in Ordnung?
Vielen Dank!!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 24.04.2009 | | Autor: | laurel |
BITTE-BITTE!!!!!!!!!HIELFE bei dem obigen Beweis!!!!!!!!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Fr 24.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst Beweise mehr Schritt fuer Schritt machen.
Ich konstruiere eine Folge von Umgebungen [mm] U_{\epsilon_k} [/mm] von M mit [mm] 0<\epsilon_{k+1}<\epsilon_k [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}=0
[/mm]
in jedem dieser Umgebungen existiert mindestens ein [mm] x_k\in [/mm] M
Aus jeder dieser Umgebungen nehme ich ein [mm] x_k, [/mm] dann gilt [mm] |x-x_k|<\epsilon_k
[/mm]
Damit habe ich aus der Eigenschaft M ist Beruehrpunkt eine Folge [mm] x_k [/mm] gefunden, so dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|x-x_k|=0
[/mm]
das ist eine Richtung. (aus M -> folge)
Jetzt du die andere Richtung aus konv. Folge folgt M
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Sa 25.04.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, leduart!!!
So ich versuche jetzt die andere Richtung zu beweisen:
Sei U Umgebung von x mit U={x, [mm] x_1,...,x_k}endlich
[/mm]
Man betrachte [mm] \epsilon_i=\rho(x, x_i).
[/mm]
Da [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_k=x \gdw \limes_{k\rightarrow\infty}|x_k-x|=0 =>\rho(x_i, x)=0=\limes_{i\rightarrow\infty}\epsilon_i=\epsilon [/mm] i=1,...,k
Dann U´ [mm] =B_{\epsilon}(x) [/mm] Umgebung von x und U´ [mm] \cap [/mm] M={x}
=> x ist Berührpunkt von M.
Ist das richtig??
LG und Danke schön!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo laurel
> Hallo, leduart!!!
> So ich versuche jetzt die andere Richtung zu beweisen:
> Sei U Umgebung von x mit U={x, [mm]x_1,...,x_k}endlich[/mm]
was heisst das "endlich" hier?
> Man betrachte [mm]\epsilon_i=\rho(x, x_i).[/mm]
> Da
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_k=x \gdw \limes_{k\rightarrow\infty}|x_k-x|=0 =>\rho(x_i, x)=0=\limes_{i\rightarrow\infty}\epsilon_i=\epsilon[/mm]
> i=1,...,k
die Zeile versteh ich gar nicht, da steht u.a. [mm] \rho=0=\epsilon [/mm] ???
Du musst doch von der konvergenten Folge ausgehen. d.h. zu jeden [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein k mit [mm] |x-x_k| [/mm] fuer alle [mm] k>N(\epsilon) x_k\in [/mm] A (oder wie die Ausgangsmenge hiess )
dann schreib mal hin. was dein [mm] \rho(x,x_k) [/mm] ist und zeige in jederUmgebung von x gibt es Punkte [mm] x_k [/mm] der Folge
Bei dir ist zu schlecht zu sehen, was der Ausgangspkt ist, hier die Folge, und das Ziel: in jeder Umgebg von x gibt es punkte aus der Menge.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 25.04.2009 | | Autor: | laurel |
Entschuldigung, ich hab mich da vertippt:
Wenn [mm] (x_k)^{\infty}_{k=1} [/mm] eine Folge in M mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_k=x, [/mm] dann es existiert eine Folge von Umgebungen [mm] (\epsilon_k)^{\infty}_{k=1} [/mm] von x, so dass [mm] \rho(x_k,x)=\epsilon_k
[/mm]
Wenn man sich eine der Umgebungen anschaut und betrachtet den Kreis [mm] B_{\epsilon_k}(x):= [/mm] { [mm] x_k\in [/mm] M: [mm] \rho(x, x_k)<\epsilon_k [/mm] },
dann findet man immer mindestens einen Punkt der Folge [mm] (x_k)^{\infty}_{k=1} [/mm] somit auch aus der Menge M=> x ist Berührpunkt der Mange M.
Ich hoffe, dass ich auf dem rihtigen Weg bin...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 26.04.2009 | | Autor: | laurel |
Keiner da??:((((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 So 26.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist schon wieder so ein allgemeines Gerede. lass das lim weg.
Aus der Existenz der Nullfolge weiss man zu jedem [mm] \epsilon.....
[/mm]
Damit gilt, in jeder Umgebung von x, die ja definiert ist durch...
findet man ein..., damit ist x nach Def von M..
Fang am besten an mit: um zu zeigen dass x Beruehrpkt ist, mus ich zeigen, dass......
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:48 So 26.04.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo, leduart!!
Danke dir für deine Hilfe und Geduld!!!!
Also um zu zeigen, dass x Berührpunkt von M ist, muss gezeigt werden, dass in jeder Umgebung von x liegt mindestens ein Punkt aus M.
Aus der Existenz der Nullfolge [mm] |x_k-x|\to0 [/mm] für [mm] k\to\infty, [/mm] weiß man zu jedem sehr kleinen [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] k\in \IN, [/mm] so dass [mm] |x_k-x|<\epsilon. [/mm] Damit gilt, in jeder Umgebung von x findet man ein Element der Folge [mm] (x_k)^{\infty}_{k=1} [/mm] und somit ein Element aus M und deswegen nach Def. ist x Berührpunkt von M.
Wenn das wieder total daneben liegt, dann weiß ich nicht mehr wie man das beweisen kann :(((
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, leduart!!Danke für deine Antwort!!
> Hier versuche ich den Beweis zusammenzubasteln:
> Def. von Berührungspunkt:
> x- Berürungspunkt von M ßgdw jede Umgebung von [mm]x\in[/mm] X
> enthält mindestens einen Punkt aus M.
> Def. von lim [mm]x_k=x[/mm] :
> Folge [mm](x_k)^\infty_{k=1}[/mm] in [mm](X,\rho)[/mm] hat den Grenzwert
> [mm]x\inX,[/mm] wenn [mm]\rho(x, x_k)\to0[/mm] für [mm]k\to \infty.[/mm]
> Also wenn x
> Berührungspunkt von M ist, dann [mm]x\in[/mm] M,
Das ist falsch ! Z.B. ist 0 Berührpunkt von (0,1]
mach es wie Leduart es Dir gesagt hat.
FRED
> da aber jeder
> Berührungspunkt von M auch ihr Häufungspunkt sein kann =>
> für jede Umgebung von x existiert y [mm]\in[/mm] U: [mm]y\in[/mm] M \ {x},
> also es existiert eine Folge [mm](x_k)^\infty_{k=1}[/mm] in M : lim
> [mm]x_k=x.[/mm]
> kann ich a) so beweisen?
> Danke schön!
> LG
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