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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 02.10.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | Sie A = [mm] \IQ [/mm] Teilmenge eines Metrischen Raumes [mm] \IR
[/mm]
Dann gilt das berühmte Beispiel: [mm] A\circ [/mm] (das innere von A)= [mm] \emptyset [/mm] und  = [mm] \partial [/mm] A = [mm] \IR [/mm] |
Ich weiß eigentlich schon warum des so is, aber so richtig verstanden habe ich das noch nicht.
Das innere ist leer weil ich jede kugel um ein beliebiges q [mm] \in \IQ [/mm] so wälen muss, dass ich Werte aus [mm] \IR [/mm] drin hab, dann sind aber alle q Randpunkte. Und nachdem jedes r aus IR auch ein Randpunkt ist weil ich eine folge aus [mm] \IQ [/mm] "hinlaufen" lassen kann.
Aber da kommt mir immer die Vorstellung, dass der Zahlenstrahl so angeordnet ist dass gilt ....q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,.... Weil sonst gäbe es ja r [mm] \in \IR [/mm] die nicht im Rand sind????
Das das nicht geht weiß ich aber auch. Wie kann man diesen scheinbaren Widerspruch erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Do 02.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sie A = [mm]\IQ[/mm] Teilmenge eines Metrischen Raumes [mm]\IR[/mm]
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> Dann gilt das berühmte Beispiel: [mm]A\circ[/mm] (das innere von A)=
> [mm]\emptyset[/mm] und  = [mm]\partial[/mm] A = [mm]\IR[/mm]
> Ich weiß eigentlich schon warum des so is, aber so richtig
> verstanden habe ich das noch nicht.
>
> Das innere ist leer weil ich jede kugel um ein beliebiges q
> [mm]\in \IQ[/mm] so wälen muss, dass ich Werte aus [mm]\IR[/mm] drin hab,
> dann sind aber alle q Randpunkte. Und nachdem jedes r aus
> IR auch ein Randpunkt ist weil ich eine folge aus [mm]\IQ[/mm]
> "hinlaufen" lassen kann.
Das ist eine komische Erklärung.
Wenn du einen Punkt [mm]q \in \IQ[/mm] nimmst und darum eine offene Kugel baust, dann hast du -immer- sowohl unendlich viele rationale als auch unendlich viele irrationale Punkte in dieser Kugel, egal wie klein der Radius ist.
Also ist jede rationale Zahl ein Randpunkt.
>
> Aber da kommt mir immer die Vorstellung, dass der
> Zahlenstrahl so angeordnet ist dass gilt
> ....q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,r,q,.... Weil sonst gäbe
> es ja r [mm]\in \IR[/mm] die nicht im Rand sind????
Diese Vorstellung des Zahlenstrahles ist ziemlich schlecht (so wie sie da steht).
Wenn du in so einer Abfolge "q, r, q, r, ..." in das erste "q, r" "reinzoomst", dann hast du da wieder unendlich viele "q, r, q, r, ...", und so weiter. Diese "Dichte" wird aber bei deiner Vorstellung mit dieser Folge "q, r, q, r, q, r, ..." nicht deutlich.
Ausserdem wird dadurch impliziert, dass es "gleich viele" rationale wie irrationale Zahlen gibt. Was ja auch nicht stimmt.
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> Das das nicht geht weiß ich aber auch. Wie kann man diesen
> scheinbaren Widerspruch erklären?
Welcher Widerspruch? Wenn dein Widerspruch aus dieser Vorstellung der Zahlengerade kommt, dann ist einfach diese Vorstellung falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 02.10.2008 | | Autor: | Woaze |
Ich glaube es zumindest schon mal besser zu verstehen.
Jede zahl q ist ein Randpunkt weil jede Umgebung von q mindestens einen Punkt (sogar unendlich viele) aus [mm] \IQ [/mm] und einen (unendlich viele) aus [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \IQ [/mm] besitzt. (Definition vom Rand)
Also ist das innere leer, weil ja alle q Randpunkte sind.
So weit ist alles klar
Aber ich kann mir das nicht vorstellen, gibts da überhaupt eine greifbare Vorstellung? [mm] \IQ [/mm] ist ja abzählbar, also meine Vorstellung: [mm] \IR [/mm] muss viel, viel größer sein!!!! Es muss also mehr r's geben als q's und zwar überabzählbar mehr!!!
Dann muss für mich der Zahlenstrahl so aussehen q,r............r,q,r...........r,q, weil irgendwie müssen die ja auf diesem blöden zahlenstrahl angeordnet sein.
Dass diese Vorstellung aber nicht stimmen kann, zeigt ja das obige Beispiel. Weil sonst wäre ja der Rand von [mm] \IQ [/mm] nicht ganz [mm] \IR.
[/mm]
Also wie du siehst fehlt es mir nicht am Wissen bei den Definitionen, sondern an einer "anschaulichen" Vorstellung und der Wiederspruch ist nur ein scheinbarer, der nicht mathematischer Art ist sondern nur durch den Versuch sich das vorzustellen zustande kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 02.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Diese ganze Vorstellung mit dem Zahlenstrahl funktioniert nicht, wenn man etwas tiefer in die Materie abtaucht.
Wenn du die irrationalen Zahlen rauslässt aus dem Strahl, dann müssten ja nach deiner Vorstellung "Löcher" dann drin sein. Was aber auch ziemlich dumm ist, denn die rationalen Zahlen liegen ja dicht.
Und noch etwas anderes, was deine Vorstellungen wohl umbringen wird... die rationalen Zahlen sind ja abzählbar.
Wenn du jetzt also auf die erste rationale Zahl (erste bzgl. irgend einer Abzählung) einen Kreis mit Radius 1 drauf legst, dann auf die zweite einen mit Radius 0,1, auf die dritte einen mit Radius 0,01, und so weiter, dann hast du die ganze, unendlich lange Zahlengerade abgedeckt, da du ja auf jede rationale Zahl einen Kreis gelegt hast. Aber wenn du jetzt alle Kreise aneinander legst, dann kommt gerade mal eine Länge von 1,111... raus (also eine vorallem endliche Länge). Und das obwohl die Kreise gerade eben noch einen unendlich langen Strahl abgedeckt haben.
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