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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Do 20.01.2005 | | Autor: | WiFo |
Seien I,J [mm] \subset \IR [/mm] kompakte Intervalle, und f:IxJ --> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion. Betrachte dabei IxJ als das kartesische Produkt der metrischen Räume I und J, also der Menge IxJ zusammen mit der Metrik d((i,j),(i',j'))=d(i,i')+d(j,j') für alle (i,j) und (i',j') [mm] \in [/mm] IxJ.
a) Zeige, dass IxJ kompakt ist.
Frage: Was genau soll ich hier zeigen und wie?
b)Zeige, dass für jedes x [mm] \in [/mm] I die Funktion J---> [mm] \IR [/mm] , y--->f(x,y) stetig ist.
c)Zeige, dass folgende Funktion F stetig ist:
F: I ---> [mm] \IR, [/mm] x -->F(x)=sup { f(x,y) | y [mm] \in [/mm] J }
Und ich sitze schon 3 Stunden und mir fällt gar nichts ein...
Könnte mir jemand ein paar Tipps geben?
Wäre echt dankbar!!!
:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich mache dir die b) mal vor, damit du das Prinzip verstehst. 
Es seien $x [mm] \in [/mm] I$, $y [mm] \in [/mm] J$ und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt.
Da $f$ stetig ist, gibt es einen Ball
[mm] $B_{d,\delta}(x,y):=\{(x',y')\in I \times J\, : \, d((x,y),(x',y'))=d(x,x')+d(y,y') < \delta\}$,
[/mm]
so dass für alle $(x',y') [mm] \in B_{d,\delta}(x,y)$ [/mm] gilt:
$|f(x',y') - [mm] f(x,y)|<\varepsilon$.
[/mm]
Insbesondere gilt für alle $y' [mm] \in B_{d,\delta}(y):=\{y' \in J\, : \, d(y,y')<\delta\}$ [/mm] gerade
$d(x,x) + d(y,y') = [mm] d(y,y')<\delta$,
[/mm]
also:
$(x,y') [mm] \in B_{d,\delta}(x,y)$
[/mm]
und daher
$|f(x,y') - f(x,y)| < [mm] \varepsilon$,
[/mm]
womit die Stetigkeit von
[mm] $\begin{array}{ccc} J & \to & \IR\\[5pt] y & \mapsto & f(x,y) \end{array}$
[/mm]
für festes $x [mm] \in [/mm] I$ gezeigt wäre.
Liebe Grüße
Julius
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http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
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