Metrik und Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Do 14.07.2011 | | Autor: | burk |
hallo,
wie löst man eine solche Aufgabe ...
Sei (M,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass
ß: M x M -> [0,1] : (x,y) -> d(x,y)/(1+d(x,y))
ebenfalls eine Metrik auf M ist. Erzeugt ß die gleiche Topologie wie d?
Schöne Grüße
Georg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> wie löst man eine solche Aufgabe ...
1. Zeige, dass ß eine Metrik auf M ist.
2. beantworte die Frage : Erzeugt ß die gleiche Topologie wie d?
FRED
>
> Sei (M,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass
>
> ß: M x M -> [0,1] : (x,y) -> d(x,y)/(1+d(x,y))
>
> ebenfalls eine Metrik auf M ist. Erzeugt ß die gleiche
> Topologie wie d?
>
> Schöne Grüße
>
> Georg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 14.07.2011 | | Autor: | burk |
hallo Fred,
kannst du bitte für den Teil 2 einen Lösungsansatz liefern
Gruß
Georg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Do 14.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Georg!
Wie sieht es eigentlich mit Deinen eigenen Ideen und Lösungsansätzen aus?
Wenn man sich Deine sämtlichen Fragen inklusive Rückfragen ansieht, findet man derartige Eigenleistungen von Dir überhaupt nicht.
In diesem Forum ist aber die Mitarbeit des Fragenden Voraussetzung (siehe dazu auch in unseren Forenregeln).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> hallo Fred,
>
> kannst du bitte für den Teil 2 einen Lösungsansatz
> liefern
>
> Gruß
>
> Georg
Hallo Georg,
das könnte man zeigen, indem man nachweist, dass jede
[mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung eines Punktes [mm] x_0 [/mm] nach der ersten Metrik
eine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] nach der anderen Metrik enthält,
und vice versa.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Do 14.07.2011 | | Autor: | burk |
vielen Dank Al-Chw
Gruß
Georg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 16.10.2011 | | Autor: | julsch |
Hallo zusammen,
ich sitze grade über der selben Aufgabe und hänge grade am Beweis der Dreiecksungleichung.
Ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
ß(x,z)= [mm] \bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \bruch{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,z)} [/mm] = [mm] \bruch{d(x,y)}{1+d(x,z)} +\bruch{d(y,z)}{1+d(x,z)}=...
[/mm]
jetzt ist meine Frage, wie ich von hier aus weiterkomme? Ich weiß ja nur, dass d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z), das hilft mir aber ja nicht für den Nenner weiter oder?
Grüße,
Julsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 So 16.10.2011 | | Autor: | julsch |
Ich hab mir noch weiter überlegt, dass ich ja zeigen muss, dass
[mm] \bruch{a}{1+a} \le \bruch{b}{1+b}+\bruch{c}{1+c}
[/mm]
für a [mm] \le [/mm] b+c gelten muss. Betrachte ich nur die rechte Seite und bringe es auf einen Bruch erhalte ich
[mm] \bruch{b}{1+b}+\bruch{c}{1+c} [/mm] = [mm] \bruch{b+2bc+c}{(1+b)(1+c)} [/mm] = [mm] \bruch{b+2bc+c}{1+b+c+bc} \ge \bruch{a+2bc}{1+b+c+bc}
[/mm]
wie komm ich jedoch von dort aus weiter? Ich steh da grade irgendwie auf dem Schlauch...
LG Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Betrachte die Funktion f(x):= [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] (für x [mm] \ge [/mm] 0) und zeige, dass f wachsend ist .
Für a,b,c [mm] \ge [/mm] 0 mit $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b+c$ ist dann:
[mm] \bruch{a}{1+a} \le \bruch{b+c}{1+b+c} [/mm] = [mm] \bruch{b}{1+b+c} +\bruch{c}{1+b+c} \le [/mm] ???
mach Du weiter.
FRED
|
|
|
|
