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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 So 23.03.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass 1) eine Metrik definiert und dass 2) eine Norm definiert:
1) [mm] d_\infty=\max_{k=1,...,n}|x_i-y_i|
[/mm]
2) [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel =\wurzel{(x,x)}$ [/mm] |
Hallo alle zusammen,
bei der 1) weiss ich einfach nicht, wie ich zeige, dass [mm] $d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y)$ ist.
Und wie kann man bei der 2 zeigen, dass [mm] $\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel\le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel$.
[/mm]
Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass 1) eine Metrik definiert und dass 2) eine
> Norm definiert:
> 1) [mm]d_\infty=\max_{k=1,...,n}|x_i-y_i|[/mm]
> 2) [mm]\parallel x \parallel =\wurzel{(x,x)}[/mm]
> Hallo alle
> zusammen,
> bei der 1) weiss ich einfach nicht, wie ich zeige, dass
> [mm]d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)[/mm] ist.
> Und wie kann man bei der 2 zeigen, dass [mm]\parallel x+y \parallel\le \parallel x \parallel + \parallel x \parallel[/mm].
>
> Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
>
> Gruß Docy
Hallo,
ich schicke mal voraus, dass ich Null Ahnung vom Thema habe und nur bei Wikipedia nach den Stichpunkten gesehen habe. Bei 2) musst du nicht zeigen [mm]\parallel x+y \parallel\le \parallel x \parallel + \parallel x \parallel[/mm], sondern [mm]\parallel x+x \parallel\le \parallel x \parallel + \parallel x \parallel[/mm]. Im konkreten Fall gilt das Gleichheitszeichen.
Viele Grüße
Abakus
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> Zeigen Sie, dass 1) eine Metrik definiert und dass 2) eine
> Norm definiert:
> 1) [mm]d_\infty=\max_{k=1,...,n}|x_i-y_i|[/mm]
> 2) [mm]\parallel x \parallel =\wurzel{(x,x)}[/mm]
> Hallo alle
> zusammen,
> bei der 1) weiss ich einfach nicht, wie ich zeige, dass
> [mm]d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)[/mm] ist.
> Und wie kann man bei der 2 zeigen, dass [mm]\parallel x+y \parallel\le \parallel x \parallel + \parallel x \parallel[/mm].
>
> Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
Zur Dreiecksungleichung für 1). Sei [mm] $k_0$ [/mm] derjenige Koordinatenindex, für den [mm] $\max_k |x_k-y_k|= |x_{k_0}-y_{k_0}|$ [/mm] gilt, dann folgt
[mm]d_\infty(x,y)=\max_k |x_k-y_k| = |x_{k_0}-y_{k_0}|\leq |x_{k_0}-z_{k_0}|+|z_{k_0}-y_{k_0}|\leq d_\infty(x,z)+d_\infty(z,y)[/mm]
Zum Beweis der Dreiecksungleichung für 2) benötigst Du die "Cauchy-Schwarzsche Ungleichung", d.h. dass [mm] $(x,y)\leq \parallel x\parallel \cdot\parallel y\parallel$ [/mm] gilt. Denn daraus folgt
[mm]\parallel x+y\parallel^2 = \parallel x\parallel^2+2(x,y)+\parallel y\parallel^2 \;\;\overset{\text{CS}}{\leq} \;\;\parallel x\parallel^2 +2\parallel x\parallel\cdot \parallel y\parallel +\parallel y\parallel^2=\left(\parallel x\parallel +\parallel y\parallel\right)^2[/mm]
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