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| Aufgabe | Wir definieren eine endliche Menge M und sei P die Menge aller Teilmengen von M.
Zeigen Sie, dass [mm] d(A,B)=|A\Delta [/mm] B| mit [mm] |A\Delta B|=A\backslash B\cup B\backslash [/mm] A eine Metrik auf P definiert. |
Hallo,
die Dreiecksungleichung macht kleine Probleme.
Nehme ich mir bel. Mengen A,B,C aus P her, so gilt doch
[mm] |A\Delta B|=|A|+|B|-2|A\cap [/mm] B|, und [mm] |A\Delta C|+|C\Delta B|=|A|+|B|+2|C|-2|A\cap C|-2|C\cap [/mm] B|. Irgendwie sehe ich dann aber nicht, dass
[mm] |A|+|B|-2|A\cap B|\leq|A|+|B|+2|C|-2|A\cap C|-2|C\cap [/mm] B| sein soll, also [mm] 2|C|-2|A\cap C|-2|C\cap [/mm] B|.
Das muss aber irgendwie ersichtlich sein, aber wie?
Ich hab schon gezeigt, dass [mm] A\Delta B\subseteq(A\Delta C)\cup(C\Delta [/mm] B) ist. Hilft das irgendwie?
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> Wir definieren eine endliche Menge M und sei P die Menge
> aller Teilmengen von M.
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> Zeigen Sie, dass [mm]d(A,B)=|A\Delta[/mm] B| mit [mm]|A\Delta B|=A\backslash B\cup B\backslash[/mm]
> A eine Metrik auf P definiert.
> Hallo,
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> die Dreiecksungleichung macht kleine Probleme.
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> Nehme ich mir bel. Mengen A,B,C aus P her, so gilt doch
>
> [mm]|A\Delta B|=|A|+|B|-2|A\cap[/mm] B|, und [mm]|A\Delta C|+|C\Delta B|=|A|+|B|+2|C|-2|A\cap C|-2|C\cap[/mm]
> B|. Irgendwie sehe ich dann aber nicht, dass
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> [mm]|A|+|B|-2|A\cap B|\leq|A|+|B|+2|C|-2|A\cap C|-2|C\cap[/mm] B|
> sein soll, also [mm]2|C|-2|A\cap C|-2|C\cap[/mm] B|.
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> Das muss aber irgendwie ersichtlich sein, aber wie?
hmm, erstmal umformen:
$|A [mm] \cap [/mm] B| + |C| [mm] \geq [/mm] |A [mm] \cap [/mm] C| + |B [mm] \cap [/mm] C|$
In der Form dürfte es vielleicht etwas ersichtlicher sein...
Guck hier mal, wie du die rechte Seite größer kriegst als |C| und überleg dir dann, wieso dann $|A [mm] \cap [/mm] B|$ ausreichend stark steigen muss, damit die Ungleichung bestehen bleibt... ;)
Dann ist es für dich hoffentlich ersichtlich, der nächste Schritt wäre dann ein korrekter mathematischer Beweis.
lg
Schadow
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