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| Aufgabe | Für die Sehnenmetrik d der sphärischen Geometrie sowie X,Y [mm] \in S^2 [/mm] zeige man:
sin [mm] (\frac{d(X,Y)}{2})=\frac{||X-Y||}{2} [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider gar nicht, was genau da gezeigt werden soll. X,Y nehme ich an, sind zwei Punkte auf der Oberfläche der Kugel. Und d(X,Y)=|X-Y| und ||X-Y|| = [mm] \sqrt{} [/mm] stimmt das und wenn ja, bringt mich das weiter? Kann ich zum Verständnis der Aufgabe ein Dreieck auf dieser Kugeloberfläche konstruieren und schaue mir dann den Sinus eines Winkels an?
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 So 22.05.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Für die Sehnenmetrik d der sphärischen Geometrie sowie
> X,Y [mm]\in S^2[/mm] zeige man:
>
> sin [mm](\frac{d(X,Y)}{2})=\frac{||X-Y||}{2}[/mm]
> Hallo,
>
>
> ich weiß leider gar nicht, was genau da gezeigt werden
> soll. X,Y nehme ich an, sind zwei Punkte auf der
> Oberfläche der Kugel.
Ob Du damit richtig liegst erkennst Du an der Aufgabenstellung: $X,Y [mm] \in S^2$.
[/mm]
> Und d(X,Y)=|X-Y| und ||X-Y|| =
> [mm]\sqrt{}[/mm] stimmt das und wenn ja, bringt mich das
> weiter?
Ja, es ist stets notwendig zu wissen, wofür die Symbole stehen und was die Begriffe bedeuten. Sollte das nicht der Fall sein, dann solltest Du dies als erstes nachholen.
Eine Frage zum Verständnis: Seien etwa $X= [mm] \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ [/mm] und $Y= [mm] \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. [/mm] Kannst Du $||X-Y||$ und $d(X,Y)$ bestimmen? Gilt die Behauptung in diesem Spezialfall?
> Kann ich zum Verständnis der Aufgabe ein Dreieck
> auf dieser Kugeloberfläche konstruieren und schaue mir
> dann den Sinus eines Winkels an?
>
> Liebe Grüße
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> > Für die Sehnenmetrik d der sphärischen Geometrie sowie
> > X,Y [mm]\in S^2[/mm] zeige man:
> >
> > sin [mm](\frac{d(X,Y)}{2})=\frac{||X-Y||}{2}[/mm]
> > Hallo,
> >
> >
> > ich weiß leider gar nicht, was genau da gezeigt werden
> > soll. X,Y nehme ich an, sind zwei Punkte auf der
> > Oberfläche der Kugel.
> Ob Du damit richtig liegst erkennst Du an der
> Aufgabenstellung: [mm]X,Y \in S^2[/mm].
>
> > Und d(X,Y)=|X-Y| und ||X-Y|| =
> > [mm]\sqrt{}[/mm] stimmt das und wenn ja, bringt mich das
> > weiter?
> Ja, es ist stets notwendig zu wissen, wofür die Symbole
> stehen und was die Begriffe bedeuten. Sollte das nicht der
> Fall sein, dann solltest Du dies als erstes nachholen.
>
> Eine Frage zum Verständnis: Seien etwa [mm]X= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},0\right)[/mm]
> und [mm]Y= \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/mm].
> Kannst Du [mm]||X-Y||[/mm] und [mm]d(X,Y)[/mm] bestimmen? Gilt die Behauptung
> in diesem Spezialfall?
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist ||X-Y||=1 und d(X,Y)=1, aber [mm] sin(0.5)\neq [/mm] 0.5
stimmt das so? und wieso stimmt es in dem Spezialfall nicht?
Und wie beweise ich die Aussage?
> > Kann ich zum Verständnis der Aufgabe ein Dreieck
> > auf dieser Kugeloberfläche konstruieren und schaue mir
> > dann den Sinus eines Winkels an?
> >
> > Liebe Grüße
> >
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 22.05.2016 | | Autor: | Herzblatt |
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> > > Für die Sehnenmetrik d der sphärischen Geometrie
> sowie
> > > X,Y [mm]\in S^2[/mm] zeige man:
> > >
> > > sin [mm](\frac{d(X,Y)}{2})=\frac{||X-Y||}{2}[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > >
> > > ich weiß leider gar nicht, was genau da gezeigt werden
> > > soll. X,Y nehme ich an, sind zwei Punkte auf der
> > > Oberfläche der Kugel.
> > Ob Du damit richtig liegst erkennst Du an der
> > Aufgabenstellung: [mm]X,Y \in S^2[/mm].
> >
> > > Und d(X,Y)=|X-Y| und ||X-Y|| =
> > > [mm]\sqrt{}[/mm] stimmt das und wenn ja, bringt mich das
> > > weiter?
> > Ja, es ist stets notwendig zu wissen, wofür die Symbole
> > stehen und was die Begriffe bedeuten. Sollte das nicht der
> > Fall sein, dann solltest Du dies als erstes nachholen.
> >
> > Eine Frage zum Verständnis: Seien etwa [mm]X= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},0\right)[/mm]
> > und [mm]Y= \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/mm].
> > Kannst Du [mm]||X-Y||[/mm] und [mm]d(X,Y)[/mm] bestimmen? Gilt die Behauptung
> > in diesem Spezialfall?
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, ist ||X-Y||=1 und
> d(X,Y)=1, aber [mm]sin(0.5)\neq[/mm] 0.5
>
> stimmt das so? und wieso stimmt es in dem Spezialfall
> nicht? weil es sich bei der Strecke XY nicht um eine Sehne handelt vielleicht? wegen den Nullen?
> Und wie beweise ich die obige Aussage?
> > > Kann ich zum Verständnis der Aufgabe ein Dreieck
> > > auf dieser Kugeloberfläche konstruieren und schaue mir
> > > dann den Sinus eines Winkels an?
> > >
> > > Liebe Grüße
> > >
> > >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 So 22.05.2016 | | Autor: | hippias |
Text enthielt keine Frage.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 22.05.2016 | | Autor: | hippias |
Rechne vor oder beschreibe wie Du $d(X,Y)=1$ bestimmt hast.
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> Rechne vor oder beschreibe wie Du [mm]d(X,Y)=1[/mm] bestimmt hast.
[mm] d(X,Y)=|X-Y|=| \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} -0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\
0-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}| =| \begin{pmatrix} \frac{1}\sqrt{2} \\ 0 \\
\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}|=\sqrt{0.5+0+0.5}=1
[/mm]
Warum, ist das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 22.05.2016 | | Autor: | hippias |
Du musst schon die Aufgabenstellung genauer lesen: $d(X,Y)$ steht für das, was ihr Sehnenmetrik genannt habt - und beachte dazu auch Al-Chwarizmis Bemerkung - und dann gibt es noch $||X-Y||$; letzteres hast Du richtig berechnet.
Wie bereits erwähnt, ist es unerlässlich die Bedeutung der Begriffe zu kennen.
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> Du musst schon die Aufgabenstellung genauer lesen: [mm]d(X,Y)[/mm]
> steht für das, was ihr Sehnenmetrik genannt habt - und
> beachte dazu auch Al-Chwarizmis Bemerkung - und dann gibt
> es noch [mm]||X-Y||[/mm]; letzteres hast Du richtig berechnet.
>
> Wie bereits erwähnt, ist es unerlässlich die Bedeutung
> der Begriffe zu kennen.
Hallo hippias,
ich denke wirklich, dass es ein Fehler des Aufgabenstellers war,
die Bezeichnung d angeblich als eine "Sehnenmetrik" auszugeben,
obwohl aus der dann folgenden Aufgabe hervorgeht, dass mit
d(X,Y) offenbar der Winkel [mm] \angle{XOY} [/mm] gemeint sein soll.
Man sollte bei d also nicht von "Sehnenmetrik", sondern von
"Winkelmetrik" sprechen.
LG , Al
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> Für die Sehnenmetrik d der sphärischen Geometrie sowie
> X,Y [mm]\in S^2[/mm] zeige man:
>
> sin [mm](\frac{d(X,Y)}{2})=\frac{||X-Y||}{2}[/mm]
> Hallo,
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>
> ich weiß leider gar nicht, was genau da gezeigt werden
> soll. X,Y nehme ich an, sind zwei Punkte auf der
> Oberfläche der Kugel. Und d(X,Y)=|X-Y| und ||X-Y|| =
> [mm]\sqrt{}[/mm] stimmt das und wenn ja, bringt mich das
> weiter? Kann ich zum Verständnis der Aufgabe ein Dreieck
> auf dieser Kugeloberfläche konstruieren und schaue mir
> dann den Sinus eines Winkels an?
Guten Abend Herzblatt
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich denke zwar genau zu verstehen, was eigentlich gemeint
war bzw. gemeint sein sollte, aber trotzdem verstehe ich
die vorliegende Aufgabenstellung nicht, insbesondere die
darin verwendeten Bezeichnungsweisen.
Falls d wirklich für die Sehnenmetrik stünde (wie es aus der
Fragestellung hervorgeht), so müsste d(X,Y) für zwei Punkte
in [mm] S^2 [/mm] jeweils eine lineare Größe bzw. Streckenlänge ergeben,
die zwischen 0 und 2 liegen kann.
So wie ich das Ganze verstehe, sollte d(X,Y) eigentlich nicht
die Sehnenlänge [mm] |\overline{XY}| [/mm] , sondern den Winkel zwischen den Vektoren
[mm] \overrightarrow{OX} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OY} [/mm] bedeuten.
Für die eigentliche Metrik, die man in Tat und Wahrheit als
"Sehnenmetrik" bezeichnen könnte, würde ich dann anstatt d
beispielsweise s schreiben, mit der Bedeutung:
s(X,Y) = ||X-Y||
Damit wird dann auch die hier zu zeigende Gleichung ziemlich
offensichtlich, wie man aus der Betrachtung des gleichschenkligen
Dreiecks OXY ersehen kann. Dessen beide gleichen Schenkel haben
je die Länge 1, die Basis entspricht der Sehnenlänge s(X,Y)
und der Winkel an der Spitze entspricht dem "Winkelabstand"
d(X,Y) der Punkte X und Y.
LG , Al-Chw.
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> > Für die Sehnenmetrik d der sphärischen Geometrie sowie
> > X,Y [mm]\in S^2[/mm] zeige man:
> >
> > sin [mm](\frac{d(X,Y)}{2})=\frac{||X-Y||}{2}[/mm]
> > Hallo,
> >
> >
> > ich weiß leider gar nicht, was genau da gezeigt werden
> > soll. X,Y nehme ich an, sind zwei Punkte auf der
> > Oberfläche der Kugel. Und d(X,Y)=|X-Y| und ||X-Y|| =
> > [mm]\sqrt{}[/mm] stimmt das und wenn ja, bringt mich das
> > weiter? Kann ich zum Verständnis der Aufgabe ein Dreieck
> > auf dieser Kugeloberfläche konstruieren und schaue mir
> > dann den Sinus eines Winkels an?
>
>
> Guten Abend Herzblatt
>
>
>
> Ich denke zwar genau zu verstehen, was eigentlich gemeint
> war bzw. gemeint sein sollte, aber trotzdem verstehe ich
> die vorliegende Aufgabenstellung nicht, insbesondere die
> darin verwendeten Bezeichnungsweisen.
>
> Falls d wirklich für die Sehnenmetrik stünde (wie es aus
> der
> Fragestellung hervorgeht), so müsste d(X,Y) für zwei
> Punkte
> in [mm]S^2[/mm] jeweils eine lineare Größe bzw. Streckenlänge
> ergeben,
> die zwischen 0 und 2 liegen kann.
>
> So wie ich das Ganze verstehe, sollte d(X,Y) eigentlich
> nicht
> die Sehnenlänge [mm]|\overline{XY}|[/mm] , sondern den Winkel
> zwischen den Vektoren
> [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] und [mm]\overrightarrow{OY}[/mm] bedeuten.
Stimmt du hast recht, d ist ein Winkel, denn kurz vorher wird in unserem Skript d folgendermaßen definiert: [mm] d:S^2 \times S^2 \to \IR_{\ge0}(x,y) \to [/mm] arccos(<x,y>)
Ich habe mir mal das Dreieck aufgezeichnet, welches du beschrieben hast. Du sagst, dass die Länge OX bzw OY gleich 1 wäre, das wäre aber nur bei der "Einheitskugel" der Fall, oder?
Wäre gut, wenn ich jetzt einen rechten WInkel finden könnte, damit ich danach den winkel sinus rausbekomme.....
>
> Für die eigentliche Metrik, die man in Tat und Wahrheit
> als
> "Sehnenmetrik" bezeichnen könnte, würde ich dann anstatt
> d
> beispielsweise s schreiben, mit der Bedeutung:
>
> s(X,Y) = ||X-Y||
>
> Damit wird dann auch die hier zu zeigende Gleichung
> ziemlich
> offensichtlich, wie man aus der Betrachtung des
> gleichschenkligen
> Dreiecks OXY ersehen kann. Dessen beide gleichen
> Schenkel haben
> je die Länge 1, die Basis entspricht der Sehnenlänge
> s(X,Y)
> und der Winkel an der Spitze entspricht dem
> "Winkelabstand"
> d(X,Y) der Punkte X und Y.
>
> LG , Al-Chw.
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> Stimmt du hast recht, d ist ein Winkel, denn kurz vorher
> wird in unserem Skript d folgendermaßen definiert: [mm]d:S^2 \times S^2 \to \IR_{\ge0}(x,y) \to[/mm]
> arccos(<x,y>)
>
> Ich habe mir mal das Dreieck aufgezeichnet, welches du
> beschrieben hast. Du sagst, dass die Länge OX bzw OY
> gleich 1 wäre, das wäre aber nur bei der "Einheitskugel"
> der Fall, oder?
> Wäre gut, wenn ich jetzt einen rechten WInkel finden
> könnte, damit ich danach den winkel sinus
> rausbekomme.....
Hallo
Die Sphäre im [mm] \IR^3, [/mm] welche man mit [mm] S^2 [/mm] bezeichnet, hat den
Radius 1.
Das geeignete rechtwinklige Dreieck findest du (in doppelter
Ausführung), wenn du das gleichschenklige Dreieck OXY durch
die von O ausgehende und auf die Basis XY fallende Höhe halbierst.
LG , Al-Chw.
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