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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 07.05.2007 | | Autor: | shaggy |
Hallo alle,
ich habe in einem Topologiebuch eine Bspl.aufgabe entdeckt :
Zeigen Sie, dass die beiden Metriken
[mm] $d_1(x,y) [/mm] = |x-y|$ und [mm] $d_2(x,y) [/mm] = [mm] |\frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{y}|$
[/mm]
auf $M = [1, [mm] \infty [/mm] )$ dieselbe Topologie induzieren, dass aber $(M, [mm] d_2)$ [/mm] nicht vollständig ist, während $(M, [mm] d_1)$ [/mm] vollständig ist.
Kann mir bitte jemand von euch die komplette Lösung angeben, weil ich gerne wissen würde, wie man bei so einer Aufgabe vorgeht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
shaggy
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> Zeigen Sie, dass die beiden Metriken
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> [mm]d_1(x,y) = |x-y|[/mm] und [mm]d_2(x,y) = |\frac{1}{x} - \frac{1}{y}|[/mm]
>
> auf [mm]M = [1, \infty )[/mm] dieselbe Topologie induzieren, dass
> aber [mm](M, d_2)[/mm] nicht vollständig ist, während [mm](M, d_1)[/mm]
> vollständig ist.
>
> Kann mir bitte jemand von euch die komplette Lösung
> angeben,
Hallo,
möglicherweise kann es jemand, es entspricht jedoch nicht den Forenregeln.
> weil ich gerne wissen würde, wie man bei so einer
> Aufgabe vorgeht.
Daß beide Metriken dieselbe Topologie induzieren, kannst Du zeigen, indem Du zeigst, daß jede Folge, die bzgl [mm] d_1 [/mm] konvergiert auch bzgl. [mm] d_2 [/mm] konvergiert und umgekehrt.
Vollständigkeit: hier zeigst Du, daß mit [mm] d_1 [/mm] jede Cauchyfolge im M konvergiert,
und daß es bzgl. [mm] d_2 [/mm] eine Cauchyfolge gibt, welche nicht konvergiert.
(Tip hierzu: betrachte [mm] x_n:=n.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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