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Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Sa 29.04.2006
Autor: papillon

Aufgabe
Gegeben: M=[0,1] und d(x,y)

= |x-y|    für  [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] y\not= [/mm] 0
= 1         für  x=0 oder y=0
= 0         für  x=y=0


a)  Ist [mm] x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] eine Cauchy-Folge im metrischen Raum (M,d)?

b)  Ist [mm] x_{n} [/mm] konvergent in (M,d)?

c)  Ist der metrische Raum (M,d) vollständigt?

Meine Ansätze:

a)  Einsetzen in die Definition der Cauchy-Folge ergibt:
wegen [mm] x_{n}= \bruch{1}{n} \not=0 [/mm] ist [mm] d(x_{n},x_{m}) [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}| [/mm]

Daraus folgt, dass [mm] x_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge in (M,d) ist.

b) Einsetzen in die Definition des Grenzwerts ergibt:
[mm] d(r,x_{n}) [/mm]

= [mm] |r-\bruch{1}{n}| [/mm]   für  r [mm] \not= [/mm] 0
= 1                            für  r = 0

Daraus folgt, dass [mm] x_{n} [/mm] nicht konvergiert, denn für r=0 ist d=1, was nicht kleiner als alle [mm] \varepsilon [/mm] ist.

c) Der Raum ist nicht vollständig, denn nach a) und b) konvergiert nicht jede Cauchy-Folge in diesem Raum.



Sind diese Ansätze richtig? Wenn nein: Was muss ich anders machen? Wenn ja: Reicht das so aus?


Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Sa 29.04.2006
Autor: SEcki


> Daraus folgt, dass [mm]x_{n}[/mm] eine Cauchy-Folge in (M,d) ist.

Wie im normalen [m]\IR[/m] auch.

> b) Einsetzen in die Definition des Grenzwerts ergibt:

Besser: falls x ein Grenzwert wäre, dann ...

>  [mm]d(r,x_{n})[/mm]
>
> = [mm]|r-\bruch{1}{n}|[/mm]   für  r [mm]\not=[/mm] 0
>  = 1                            für  r = 0

Prinzipiell richtig. etwas besser aufschreiben - dein Grenzwert x wäre 0 ode ein Zahl größer 0, dann führst du beides zum Widerspruch.

> c) Der Raum ist nicht vollständig, denn nach a) und b)
> konvergiert nicht jede Cauchy-Folge in diesem Raum.

Ja.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Sa 29.04.2006
Autor: papillon


> > b) Einsetzen in die Definition des Grenzwerts ergibt:
>  
> Besser: falls x ein Grenzwert wäre, dann ...
>  
> >  [mm]d(r,x_{n})[/mm]

> >
> > = [mm]|r-\bruch{1}{n}|[/mm]   für  r [mm]\not=[/mm] 0
>  >  = 1                            für  r = 0
>  
> Prinzipiell richtig. etwas besser aufschreiben - dein
> Grenzwert x wäre 0 ode ein Zahl größer 0, dann führst du
> beides zum Widerspruch.


Könntest du mir das noch etwas ausführlicher erläutern?

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

Bezug
                        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Sa 29.04.2006
Autor: SEcki


> > Prinzipiell richtig. etwas besser aufschreiben - dein
> > Grenzwert x wäre 0 ode ein Zahl größer 0, dann führst du
> > beides zum Widerspruch.
> Könntest du mir das noch etwas ausführlicher erläutern?

Da gibt's aber kaum was auszuführen - du nimmst einen hypothetischen Grenzwert x und führst die Existenz dessen zum Widerspruch mit den Argumenten, die schon gegeben hast. wo liegt dein Problem?

SEcki


Bezug
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