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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 08.04.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | a) Welche Eigenschaften einer Metrik auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] erfüllen folgende Formeln? Welche Formeln definieren eine Metrik auf [mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
i) $d(x, [mm] y)=\left(x^2+1\right)\lvert x-y\rvert$ [/mm]
ii) $d(x, [mm] y)=\lvert x+y\rvert$ [/mm] |
Also, ich habe folgendes Problem: Ich kann bei keiner der beiden Formel sagen, ob die [mm] $\triangle$-Ungleichung, [/mm] also $d(x, [mm] y)\leqslant [/mm] d(x, z)+d(z, y)$, erfüllt ist.
Bis jetzt habe ich für i) Folgendes:
Bedingung 1: $d(x, [mm] y)=0\Leftrightarrow [/mm] x=y$
Sei $d(x, y)=0$:
[mm] $\underbrace{\left(x^2 +1\right)}_{\neq 0}\lvert x-y\rvert=0 \iff \lvert x-y\rvert=0 \Rightarrow [/mm] x=y [mm] \qquad \checkmark$
[/mm]
Sei $x=y$:
[mm] $\left(x^2+1\right) \lvert x-x\rvert=\left( x^2+1\right) \cdot [/mm] 0 = 0 [mm] \qquad \checkmark$ [/mm]
Passt also, meiner Meinung nach.
Bedingung 2:
Sei o.B.d.A. [mm] $|x|\neq|y|$ [/mm] (die folgende Bedingung muss ja gelten [mm] $\forall [/mm] x, y [mm] \in \mathbb{R}$): [/mm]
$d(x, [mm] y)\overset{!}{=}d(y, [/mm] x) $
[mm] $\left(x^2 +1\right)|x-y|\overset{!}{=}\left(y^2+1\right)|y-x|$
[/mm]
[mm] $\left(x^2 +1\right)|x-y|\overset{!}{=}\left(y^2+1\right)|x-y|$
[/mm]
[mm] $x^2\overset{!}{=}y^2$
[/mm]
[mm] $|x|\overset{!}{=}|y|$ [/mm]
(Widerspruch)
ii)
Bedingung 1: $d(x, [mm] y)=0\Leftrightarrow [/mm] x=y$
Sei $d(x, y)=0$. [mm] $|x+y|=0\Rightarrow [/mm] x+y=0 [mm] \vee [/mm] -(x+y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-y$. Fertig, denke ich mal. Die Bedingung ist also nicht erfüllt.
Bedingung 2: $d(x, y)=d(y, x) [mm] \quad \foraal x,y\in\mathbb{R}$ [/mm]
Seien $x, [mm] y\in\mathbb{R}$ [/mm] beliebig:
$d(x,y)=|x+y|=|y+x|=d(x,y) [mm] \qquad \checkmark$ [/mm]
Ich habe also (hoffentlich) zwei von drei Bedingungen richtig überprüft (demnach wäre keine der beiden Formeln eine Metrik), aber jetzt fehlt mir noch bei beiden die Dreiecksungleichug. Könntet ihr mir da vielleicht Tipps zu geben? Diese ganz einfachen Tricks wie "Null, also z-z addieren und dann mit der "normalen" Dreiecksungleichung so lange umformen, bis man da ist, wo man hinwill, haben bei mir nicht funktioniert.
Es wäre außerdem noch klasse, wenn ihr den Rest dann auch direkt korrigieren könntet. Ich merke doch, ich bin über die Semesterferien ziemlich eingerostet. :O Danke schon mal im Voraus!
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> a) Welche Eigenschaften einer Metrik auf [mm]\mathbb{R}[/mm]
> erfüllen folgende Formeln? Welche Formeln definieren eine
> Metrik auf [mm]\mathbb{R}[/mm]?
>
> i) [mm]d(x, y)=\left(x^2+1\right)\lvert x-y\rvert[/mm]
> ii) [mm]d(x, y)=\lvert x+y\rvert[/mm]
> Also, ich habe folgendes
> Problem: Ich kann bei keiner der beiden Formel sagen, ob
> die [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung, also [mm]d(x, y)\leqslant d(x, z)+d(z, y)[/mm],
> erfüllt ist.
>
> Bis jetzt habe ich für i) Folgendes:
>
> Bedingung 1: [mm]d(x, y)=0\Leftrightarrow x=y[/mm]
>
> Sei [mm]d(x, y)=0[/mm]:
> [mm]\underbrace{\left(x^2 +1\right)}_{\neq 0}\lvert x-y\rvert=0 \iff \lvert x-y\rvert=0 \Rightarrow x=y \qquad \checkmark[/mm]
>
> Sei [mm]x=y[/mm]:
> [mm]\left(x^2+1\right) \lvert x-x\rvert=\left( x^2+1\right) \cdot 0 = 0 \qquad \checkmark[/mm]
>
> Passt also, meiner Meinung nach.
ja
>
> Bedingung 2:
> Sei o.B.d.A. [mm]|x|\neq|y|[/mm] (die folgende Bedingung muss ja
> gelten [mm]\forall x, y \in \mathbb{R}[/mm]):
>
>
> [mm]d(x, y)\overset{!}{=}d(y, x)[/mm]
> [mm]\left(x^2 +1\right)|x-y|\overset{!}{=}\left(y^2+1\right)|y-x|[/mm]
>
> [mm]\left(x^2 +1\right)|x-y|\overset{!}{=}\left(y^2+1\right)|x-y|[/mm]
>
> [mm]x^2\overset{!}{=}y^2[/mm]
> [mm]|x|\overset{!}{=}|y|[/mm]
> (Widerspruch)
passt auch, wobei du das auch einfacher haben kannst, indem du direkt ein Gegenbeispiel angibst
>
> ii)
>
> Bedingung 1: [mm]d(x, y)=0\Leftrightarrow x=y[/mm]
>
>
> Sei [mm]d(x, y)=0[/mm]. [mm]|x+y|=0\Rightarrow x+y=0 \vee -(x+y)=0 \Rightarrow x=-y[/mm].
> Fertig, denke ich mal. Die Bedingung ist also nicht
> erfüllt.
ja
>
> Bedingung 2: [mm]d(x, y)=d(y, x) \quad \foraal x,y\in\mathbb{R}[/mm]
>
> Seien [mm]x, y\in\mathbb{R}[/mm] beliebig:
> [mm]d(x,y)=|x+y|=|y+x|=d(x,y) \qquad \checkmark[/mm]
passt auch
>
>
> Ich habe also (hoffentlich) zwei von drei Bedingungen
> richtig überprüft (demnach wäre keine der beiden Formeln
> eine Metrik), aber jetzt fehlt mir noch bei beiden die
> Dreiecksungleichug. Könntet ihr mir da vielleicht Tipps zu
> geben? Diese ganz einfachen Tricks wie "Null, also z-z
> addieren und dann mit der "normalen" Dreiecksungleichung so
> lange umformen, bis man da ist, wo man hinwill, haben bei
> mir nicht funktioniert.
Bei ii) geht es mit einem einfachen Beispiel: x=y und z=-x
Auch bei i) ist die Dreiecksungliechung verletzt, probiere es z.B. mit [mm] x>z>y\ge [/mm] 0
>
> Es wäre außerdem noch klasse, wenn ihr den Rest dann auch
> direkt korrigieren könntet. Ich merke doch, ich bin über
> die Semesterferien ziemlich eingerostet. :O Danke schon mal
> im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Di 10.04.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine schnelle Hilfe!
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