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Aufgabe:
Ein Produzent kann aus den Mengen x,y >0 der Güter 1 und 2 als Input einen Output z herstellen, dessen Menge gegeben ist durch die Produktionsfunktion :
[mm] z={f(x,y)}:=x*\wurzel{y}
[/mm]
Bei der Produktion ist als Nebenbedingung die Gleichung
[mm] x^2+y=50 [/mm] zu beachten.
Finden sie mit Hilfe der Methode von Lagrange den Maximalen Output zmax.
Lösung:
[mm] ZF:{f(x,y)}=x*\wurzel{y}=> [/mm] max.
[mm] NB:{g(x,y)}=x^2+y-50
[/mm]
Lagrangefunktion : L [mm] f(x,y,\lambda)=x*\wurzel{y}+\lambda(x^2+y-50)
[/mm]
Partielle Ableitungen:
[mm] L'x(x,y,\lambda)=\wurzel{y}+2x \lambda
[/mm]
[mm] L'y(x,y,\lambda)=0,5y^-^0^,^5*x+ \lambda
[/mm]
[mm] L'\lambda(x,y,\lambda)=x^2+y-50
[/mm]
Jetzt kommt mein Problem.Ich weiss leider nicht,wie ich jetzt auf den maximalen Output komme.Wäre super,wenn mir das jemand mal vorrechnen könnte.
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Hallo!
> Partielle Ableitungen:
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> [mm]L'x(x,y,\lambda)=\wurzel{y}+2x \lambda[/mm]
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> [mm]L'y(x,y,\lambda)=0,5y^-^0^,^5*x+ \lambda[/mm]
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> [mm]L'\lambda(x,y,\lambda)=x^2+y-50[/mm]
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> Jetzt kommt mein Problem.Ich weiss leider nicht,wie ich
> jetzt auf den maximalen Output komme.Wäre super,wenn mir
> das jemand mal vorrechnen könnte.
Die partiellen Ableitungen hast du ja schon richtig ausgerechnet. Jetzt musst du sie eigentlich nur noch alle gleich $0$ setzen und die zugehörige Lösung [mm] $x,y,\lambda$ [/mm] bestimmen. Tipp hierzu: Löse die erste Gleichung nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf und setze sie in die zweite ein!
Letztlich kommst du so auf zwei Lösungen: [mm] $\left(\pm 5,25,\mp \bruch 12\right)$. [/mm] Davon kommt ohnehin nur eine in Frage, wegen $x>0$. Also ist dein Kandidat für's Maximum [mm] $x_0=5,\ y_0=25,\ \lambda_0=-5$.
[/mm]
Weißt du, wie du überprüfst, ob $L$ dort ein Maximum hat?
Den maximalen Output erhältst du dann durch [mm] $z_0=f(x_0,y_0)$.
[/mm]
Gruß, banachella
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Kannst du mir mal bitte zeigen wie du auf das Ergebnis gekommen bist,kriege das irgendwie nicht raus,danke.
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Hallo!
Zunächst mal habe ich die drei Gleichungen aufgeschrieben:
(I) [mm] $\sqrt y+2x\lambda=0$
[/mm]
(II) [mm] $\bruch 12\bruch 1{\sqrt y}x+\lambda=0$
[/mm]
(III) [mm] $x^2+y-5=0$
[/mm]
Dann löse ich (I) nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf:
(I') [mm] $\lambda=-\bruch{\sqrt y}{2x}$
[/mm]
Das setze ich in (II) ein:
(II') [mm] $\bruch 12\bruch 1{\sqrt y}x-\bruch{\sqrt y}{2x}=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ \bruch x{\sqrt y}=\bruch{\sqrt y}x$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ x^2=y$
[/mm]
Jetzt in (III) eingesetzt:
(III') [mm] $x^2+x^2-50=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ x^2=25\ \Leftrightarrow\ x=\pm [/mm] 5$
Und wieder rückwärts:
(II'') [mm] $y=x^2=25$
[/mm]
(III'') [mm] $\lambda=-\bruch{\sqrt y}{2x}=-\bruch{5}{\pm 10}=\mp \bruch [/mm] 12$
So müsste es eigentlich passen. Hoffentlich. 
Gruß, banachella
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