Methode der kleinsten Quadrate < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben seien durch i=1...n indizierte Punkte [mm] P_i(x_i, y_i) [/mm] in der Ebene. Durch die Methode der kleinsten Quadrate ist eine Ellipse zu finden, deren Kurve diese Punkte am besten approximiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche die Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden, um eine Ellipse zu finden, die gegebene Punkte eines Kometen in den Satellitenaufnahmen (in der Ebene der Aufnahmen) am besten approximiert.
Bin selber zwar kein Mathematiker, doch habe ich mich ein wenig eingelesen und die ganze Rechnung durchgeführt. Hier wollte ich lediglich die Mathe-Kenner fragen, ob ich alles richtig gemacht habe.
Also, ich gehe von der kanonischen Ellipsengleichung aus:
[mm] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
[/mm]
Ich wende nun die Methode der kleinsten Quadrate an und erhalte zwei Gleichungen:
[mm] \frac{\sum_{i=1}^n x_i^4}{a^2}+\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2}{b^2}=\sum_{i=1}^n x_i^2 [/mm] (1)
[mm] \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2}{a^2}+\frac{\sum_{i=1}^n y_i^4}{b^2}=\sum_{i=1}^n y_i^2 [/mm] (2)
Um die Sache etwas übersichtlicher zu gestalten, ersetze ich alle Summen durch [mm] k_1...k_5:
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^n x_i^4=k_1, \sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2=k_2, \sum_{i=1}^n x_i^2=k_3, \sum_{i=1}^n y_i^4=k_4, \sum_{i=1}^n y_i^2=k_5
[/mm]
Nun löse ich ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (a und b) in zwei Gleichungen:
[mm] \frac{k_1}{a^2}+\frac{k_2}{b^2}=k_3 [/mm] (1)
[mm] \frac{k_2}{a^2}+\frac{k_4}{b^2}=k_5 [/mm] (2)
Aus der zweiten Gleichung erhalte ich [mm] a^2:
[/mm]
[mm] a^2=\frac{b^2k_2}{b^2k_5-k_4} [/mm] (3)
Dann setze ich [mm] a^2 [/mm] in die erste Gleichung ein und erhalte:
[mm] \frac{b^2k_5k_1-k_4k_1}{b^2k_2}+\frac{k_2}{b_2}=k_3
[/mm]
Daraus finde ich [mm] b^2:
[/mm]
[mm] b^2=\frac{k_4k_1-k_2^2}{k_5k_1-k_2k_3}
[/mm]
Da der negative Wert mich in diesem Fall nicht interessiert, so gestalte ich das Ergebnis von b als Betrag:
[mm] b=\left| \sqrt{\frac{k_4k_1-k_2^2}{k_5k_1-k_2k_3}} \right|
[/mm]
Dann setze ich [mm] b^2 [/mm] in die Gleichung (3) ein und erhalte а:
[mm] a=\left| \sqrt{\frac{k_1k_2k_4-k_2^3}{k_1k_4k_5-k_2^2k_5}} \right|
[/mm]
Damit ist die Rechung im Grunde genommen fertig, ich setze dann nur noch wieder die Summen anstelle von [mm] k_1...k_5 [/mm] ein.
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Fr 04.05.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube bei der Lösung für a hast Du Dich verrechnet. Es heisst
[mm] a^2=\bruch{k_4k_1-k_2^2}{k_3k_4-k_2k_5}
[/mm]
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Stimmt! Den Fehler habe ich jetzt auch gefunden. Danke für den Hinweis.
Ist aber ansonsten alles einwandfrei? Vor allem die eigentliche Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Ellipsengleichung, habe ich es korrekt gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Fr 04.05.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich gehe davon aus es korekt ist, da ja bei Dir und bei mir die selbe Lösung raus kommt. Wie Du auf die Gleichungen gekommen bist hast Du ja nicht geschrieben. Ich gehe mal davon aus das es ungefähr so war:
Man setzt die Werte [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] in die Ellipsengleichung ein und quadriert die Differenzen. Danach leitet man nach a und b partiell ab und bekommt die Gleichungen die Du gefunden hast.
Ein wenig einfacher kann man es sich noch machen in dem man gleich nur die Werte für [mm] \tilde a=a^2 [/mm] und [mm] \tilde b=b^2 [/mm] sucht, dann werden die Gleichungen etwas einfacher und an den Vorzeichen von a und b ist man ja sowieso nicht interessiert.
Also
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left( \bruch{x_i^2}{\tilde a}+\bruch{y_i^2}{\tilde b}-1\right)^2 [/mm] -> Minimal
Partielles ableiten nach [mm] \tilde{a} [/mm] und [mm] \tilde{b} [/mm] führt auf
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left[ \left( \bruch{x_i^2}{\tilde a}+\bruch{y_i^2}{\tilde b}-1 \right)x_i^2 \right]=0 [/mm] und
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left[ \left( \bruch{x_i^2}{\tilde a}+\bruch{y_i^2}{\tilde b}-1 \right)y_i^2 \right]=0 [/mm]
also
[mm] \bruch{k_1}{\tilde a}+\bruch{k_2}{\tilde b}=k_3
[/mm]
[mm] \bruch{k_2}{\tilde a}+\bruch{k_4}{\tilde b}=k_5
[/mm]
und dann auf die gleiche Lösung.
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| Aufgabe | | Dieselbe Aufgabe soll nun mit der Ellipsengleichung als Kurve zweiter Ordnung gelöst werden. |
Anstatt der zuvor gewählten kanonischen Gleichung versuche ich nun dasselbe mit der Gleichung als Kurve zweiter Ordnung zu machen, also mit der Gleichung:
[mm] a_{11}x^2 [/mm] + [mm] a_{22}y^2 [/mm] + [mm] 2a_{12}xy [/mm] + [mm] 2a_{13}x [/mm] + [mm] 2a_{23}y [/mm] + [mm] a_{33}=0
[/mm]
Nach Anwendung der Methode der kleinster Quadrate erhalte ich folgendes Gleichungssystem aus sechs Gleichungen in sechs Unbekannten:
[mm] a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^4 [/mm] + [mm] a_{22}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2 [/mm] + [mm] 2a_{12}\sum_{i=1}^n x_i^3y_i [/mm] + [mm] 2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i^3 [/mm] + [mm] 2a_{23}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i [/mm] + [mm] a_{33}\sum_{i=1}^n x_i^2 [/mm] (1)
[mm] a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2 [/mm] + [mm] a_{22}\sum_{i=1}^n y_i^4 [/mm] + [mm] 2a_{12}\sum_{i=1}^n x_iy_i^3 [/mm] + [mm] 2a_{13}\sum_{i=1}^n x_iy_i^2 [/mm] + [mm] 2a_{23}\sum_{i=1}^n y_i^3 [/mm] + [mm] a_{33}\sum_{i=1}^n y_i^2 [/mm] (2)
[mm] a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^3y_i [/mm] + [mm] a_{22}\sum_{i=1}^n x_iy_i^3 [/mm] + [mm] 2a_{12}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2 [/mm] + [mm] 2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i [/mm] + [mm] 2a_{23}\sum_{i=1}^n x_iy_i^2 [/mm] + [mm] a_{33}\sum_{i=1}^n x_iy_i [/mm] (3)
[mm] a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^3 [/mm] + [mm] a_{22}\sum_{i=1}^n x_iy_i^3 [/mm] + [mm] 2a_{12}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i [/mm] + [mm] 2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i^2 [/mm] + [mm] 2a_{23}\sum_{i=1}^n x_iy_i [/mm] + [mm] a_{33}\sum_{i=1}^n x_i [/mm] (4)
[mm] a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i [/mm] + [mm] a_{22}\sum_{i=1}^n y_i^3 [/mm] + [mm] 2a_{12}\sum_{i=1}^n x_iy_i^2 [/mm] + [mm] 2a_{13}\sum_{i=1}^n x_iy_i [/mm] + [mm] 2a_{23}\sum_{i=1}^n y_i^2 [/mm] + [mm] a_{33}\sum_{i=1}^n y_i [/mm] (5)
[mm] a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^2 [/mm] + [mm] a_{22}\sum_{i=1}^n y_i^2 [/mm] + [mm] 2a_{12}\sum_{i=1}^n x_iy_i [/mm] + [mm] 2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i [/mm] + [mm] 2a_{23}\sum_{i=1}^n y_i [/mm] + [mm] a_{33}n [/mm] (6)
Wenn ich aber dieses Gleichungssystem nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren löse, so erhalte ich als Lösung:
[mm] a_{11}=a_{22}=a_{12}=a_{13}=a_{23}=a_{33}=0
[/mm]
Und das möchte ich irgendwie nicht haben.
Was mache ich denn falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mi 09.05.2012 | | Autor: | SergiusPro |
Meine Frage bzgl. der Kurve zweiter Ordnung ist immer noch aktuell.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Mi 09.05.2012 | | Autor: | SergiusPro |
Meine Frage ist immer noch aktuell.
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> Dieselbe Aufgabe soll nun mit der Ellipsengleichung als
> Kurve zweiter Ordnung gelöst werden.
> Anstatt der zuvor gewählten kanonischen Gleichung
> versuche ich nun dasselbe mit der Gleichung als Kurve
> zweiter Ordnung zu machen, also mit der Gleichung:
>
> [mm]a_{11}x^2[/mm] + [mm]a_{22}y^2[/mm] + [mm]2a_{12}xy[/mm] + [mm]2a_{13}x[/mm] + [mm]2a_{23}y[/mm] +
> [mm]a_{33}=0[/mm]
Hinweis: auf die Faktoren 2 bei einigen der Glieder könnte man
eigentlich auch verzichten.
Ich verwende zudem anstatt [mm] a_{ik} [/mm] lieber einfache Bezeichnungen
wie etwa a,b,c,d,e,f - aber das ist Geschmackssache.
> Nach Anwendung der Methode der kleinster Quadrate erhalte
> ich folgendes Gleichungssystem aus sechs Gleichungen in
> sechs Unbekannten:
>
> [mm]a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^4[/mm] + [mm]a_{22}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2[/mm] +
> [mm]2a_{12}\sum_{i=1}^n x_i^3y_i[/mm] + [mm]2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i^3[/mm] +
> [mm]2a_{23}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i[/mm] + [mm]a_{33}\sum_{i=1}^n x_i^2[/mm]
> (1)
>
> [mm]a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2[/mm] + [mm]a_{22}\sum_{i=1}^n y_i^4[/mm] +
> [mm]2a_{12}\sum_{i=1}^n x_iy_i^3[/mm] + [mm]2a_{13}\sum_{i=1}^n x_iy_i^2[/mm]
> + [mm]2a_{23}\sum_{i=1}^n y_i^3[/mm] + [mm]a_{33}\sum_{i=1}^n y_i^2[/mm]
> (2)
>
> [mm]a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^3y_i[/mm] + [mm]a_{22}\sum_{i=1}^n x_iy_i^3[/mm] +
> [mm]2a_{12}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i^2[/mm] + [mm]2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i[/mm]
> + [mm]2a_{23}\sum_{i=1}^n x_iy_i^2[/mm] + [mm]a_{33}\sum_{i=1}^n x_iy_i[/mm]
> (3)
>
> [mm]a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^3[/mm] + [mm]a_{22}\sum_{i=1}^n x_iy_i^3[/mm] +
> [mm]2a_{12}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i[/mm] + [mm]2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i^2[/mm] +
> [mm]2a_{23}\sum_{i=1}^n x_iy_i[/mm] + [mm]a_{33}\sum_{i=1}^n x_i[/mm] (4)
>
> [mm]a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^2y_i[/mm] + [mm]a_{22}\sum_{i=1}^n y_i^3[/mm] +
> [mm]2a_{12}\sum_{i=1}^n x_iy_i^2[/mm] + [mm]2a_{13}\sum_{i=1}^n x_iy_i[/mm] +
> [mm]2a_{23}\sum_{i=1}^n y_i^2[/mm] + [mm]a_{33}\sum_{i=1}^n y_i[/mm] (5)
>
> [mm]a_{11}\sum_{i=1}^n x_i^2[/mm] + [mm]a_{22}\sum_{i=1}^n y_i^2[/mm] +
> [mm]2a_{12}\sum_{i=1}^n x_iy_i[/mm] + [mm]2a_{13}\sum_{i=1}^n x_i[/mm] +
> [mm]2a_{23}\sum_{i=1}^n y_i[/mm] + [mm]a_{33}n[/mm] (6)
Auf so was ähnliches bin ich auch gekommen, habe jetzt aber nicht
alles durchgesehen. Übrigens hast du hier jetzt gar keine Gleichungen,
sondern nur Terme hingeschrieben ...
> Wenn ich aber dieses Gleichungssystem nach dem Gaußschen
> Eliminationsverfahren löse, so erhalte ich als Lösung:
>
> [mm]a_{11}=a_{22}=a_{12}=a_{13}=a_{23}=a_{33}=0[/mm]
>
> Und das möchte ich irgendwie nicht haben.
>
> Was mache ich denn falsch?
Hast du beachtet, dass in dem Gleichungssystem auch konstante
Terme stecken, welche man normalerweise auf die rechte Seite
der Gleichungen stellt ?
Dass bei einem Gleichungssystem, das als Konstanten lauter
Nullen hat, als Lösung die Nulllösung herauskommt, ist ja nicht
erstaunlich ...
LG Al-Chw.
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Ja, das sind Terme, ich habe einfach "= 0" am Ende jeder Gleichung vergessen.
Die Frage war aber was mache ich den falsch, dass ich nur die triviale Lösung mit Nullen bekomme? Diese Frage ist immer noch unbeantwortet geblieben...
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> Ja, das sind Terme, ich habe einfach "= 0" am Ende jeder
> Gleichung vergessen.
>
> Die Frage war aber was mache ich den falsch, dass ich nur
> die triviale Lösung mit Nullen bekomme? Diese Frage ist
> immer noch unbeantwortet geblieben...
Da du nicht gezeigt hast, wie du im Einzelnen vorgegangen bist,
konnte ich diese Frage auch nicht beantworten. Ich habe
nur eine Vermutung geäußert, worin der Fehler bestehen
könnte.
Ich schlage dir vor, das Ganze an einem konkreten Beispiel
ausführlich vorzurechnen.
Etwa mit folgenden 6 Punkten mit ganzzahligen Koordinaten,
welche ungefähr auf einer Ellipse liegen:
(0/0), (2/-1), (4/0), (5/2), (4/3), (1/2)
LG Al-Chw.
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Hallo SergiusPro,
mir ist noch eine bessere Erklärung für den möglichen
Fehler eingefallen. Du behandelst die 6 Parameter als
freie Parameter. Effektiv sind es aber nur 5 wirklich
freie Parameter, denn man erhält ja denselben Kegel-
schnitt, wenn man dessen Gleichung (und damit alle
6 Parameter) mit einer Zahl ≠0 multipliziert.
Und bei 6 freien Parametern ist es einleuchtend, dass
dann die Quadratsumme minimal (nämlich exakt 0)
wird, wenn alle 6 Parameter verschwinden. Dann hat
man aber auch gar keine Kegelschnittgleichung mehr,
sondern eine nichtssagende Gleichung, welche von
jedem Punkt der Ebene erfüllt wird.
Es gilt also, genau diesen Fall auszuschließen, indem
man zum Beispiel den letzten Parameter (das konstante
Glied) gleich 1 setzt. Diese Wahl wäre nur dann ungeeignet,
wenn die zu bestimmende Kurve ausgerechnet durch
den Koordinatenursprung verlaufen würde.
Setze also mal in all deinen bisherigen Rechnungen [mm] a_{33}:=1
[/mm]
und schau, was dann herauskommt !
LG Al-Chwarizmi
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> Gegeben seien durch i=1...n indizierte Punkte [mm]P_i(x_i, y_i)[/mm]
> in der Ebene. Durch die Methode der kleinsten Quadrate ist
> eine Ellipse zu finden, deren Kurve diese Punkte am besten
> approximiert.
> Ich versuche die Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden,
> um eine Ellipse zu finden, die gegebene Punkte eines
> Kometen in den Satellitenaufnahmen (in der Ebene der
> Aufnahmen) am besten approximiert.
>
> Bin selber zwar kein Mathematiker, doch habe ich mich ein
> wenig eingelesen und die ganze Rechnung durchgeführt. Hier
> wollte ich lediglich die Mathe-Kenner fragen, ob ich alles
> richtig gemacht habe.
>
> Also, ich gehe von der kanonischen Ellipsengleichung aus:
>
> [mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
Hallo SergiusPro,
dieser Ansatz greift wohl deutlich zu kurz !
Mit dieser Gleichung werden nur Ellipsen dargestellt, deren
Mittelpunkt im Nullpunkt und deren Hauptachsen auf den
Koordinatenachsen liegen.
Ich nehme aber an, dass die Ellipsen, die du approximieren
willst, irgendwo in der Ebene liegen und gegen die Achsen
verdreht sein dürfen. Deshalb brauchst du den allgemeinen
Ansatz.
LG Al-Chwarizmi
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