Messbarkeitsbeweis < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] sei messbarer Raum und f = [mm] (f_1, [/mm] ... [mm] ,f_n)^T [/mm] : X -> [mm] \IK^d, [/mm] dann gilt: f messbar [mm] \gdw f_j [/mm] messbar für j = 1, ... , d |
Der Beweis beginnt damit, dass man die Projektion [mm] P_j [/mm] : [mm] \IK^d [/mm] -> [mm] \IK [/mm] betrachtet, die stetig sei.
Was genau ist damit gemeint? Ich dachte zuerst man wählt damit genau ein Element des Vektors aus, in einem anderen Beweis (f+g messbar, wenn f und g messbar) wurde allerdings ein P : [mm] \IC^d [/mm] x [mm] \IC^d [/mm] -> [mm] \IC^d [/mm] mit P(x, y) = x+y definiert und explizit auf den obigen Satz verwiesen. Was genau fällt nun alles unter diese Projektion und wie sehe ich ein, dass sie stetig ist? Was genau ist damit eigentlich gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mi 01.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Projektion [mm] P_j [/mm] ist def. durch
[mm] P_j(x_1,...,x_d)^T:=x_j.
[/mm]
Ich denke man sieht es [mm] P_j [/mm] an, dass [mm] P_j [/mm] stetig ist.
Es ist [mm] $f_j =P_j \circ [/mm] f$
Ist f messbar, so ist [mm] f_j [/mm] messbar, denn die Verkettung einer messb. Funktion und eine stetigen Fkt. ist messbar
FRED
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D.h. also wenn ich die übliche Definition von Stetigkeit betrachte, dann verhält sich die Projektion bei Änderung der [mm] x_i [/mm] auf die nicht projiziert wird wie f(x) = 0 und auf dem projizierten [mm] x_i [/mm] selbst wie f(x) = x, was beides stetige Funktionen sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Do 02.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> D.h. also wenn ich die übliche Definition von Stetigkeit
> betrachte, dann verhält sich die Projektion bei Änderung
> der [mm]x_i[/mm] auf die nicht projiziert wird wie f(x) = 0 und auf
> dem projizierten [mm]x_i[/mm] selbst wie f(x) = x, was beides
> stetige Funktionen sind.
So kannst Du das nicht begründen. Zwei Möglichkeiten:
1. [mm] P_j [/mm] ist linear, also stetig (falls Ihr das hattet).
2. Für [mm] x=(x_1,...,x_d)^T [/mm] , [mm] y=(y_1,...,y_d)^T\in \IK^d: [/mm] ist
[mm] $|P_j(x)-P_j(y)| =|x_j-y_j| \le [/mm] ||x-y||$
FRED
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Also 1. hatten wir mit Sicherheit. Meine Analysis-Grundlagenvorlesungen liegen nur leider schon Jahre zurück. 2. kommt mir allerdings unbekannt vor. Ich dachte man kann das auch einfach mit dem Epsilon-Delta-Kriterium begründen. Ist das nicht das was du in 2. gemacht hast?
Ich denke mal, um im mehrdimensionalen die Distanz zwischen Funktionsargumenten bzw. -werten zu quantifizieren nimmt man die Norm und kann dann begründen, dass sich die Projektion entweder gar nicht oder eben nur unter Erfüllung des Epsilon-Delta-Kriteriums ändert. Das wollte ich mit meinem vorherigen Post jedenfalls begründen.
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Hiho,
> Ich dachte man kann das auch einfach mit dem Epsilon-Delta-Kriterium begründen. Ist das nicht das was du in 2. gemacht hast?
Korrekt.
> Ich denke mal, um im mehrdimensionalen die Distanz zwischen Funktionsargumenten bzw. -werten zu quantifizieren nimmt man die Norm und kann dann begründen, dass sich die Projektion entweder gar nicht oder eben nur unter Erfüllung des Epsilon-Delta-Kriteriums ändert.
Ja.
Beachte hierbei, dass [mm] $P_j: \IR^n \to \IR$ [/mm] ist und daher die "Norm" im Bildraum der einfache Betrag in [mm] \IR [/mm] ist.
D.h. man muss halt schauen, ob man für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] findet, so dass
[mm] $|P_j(x) [/mm] - [mm] P_j(y)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für $||x-y|| < [mm] \delta$
[/mm]
Und das kann man durch freds Ungleichung sehr leicht, denn:
[mm] $|P_j(x) [/mm] - [mm] P_j(y)| [/mm] = [mm] |x_j [/mm] - [mm] y_j| \le [/mm] ||x - y|| < [mm] \delta$
[/mm]
D.h. wähle [mm] $\delta [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Ja, genau das meinte ich damit im Prinzip auch. Ich muss nur für so einen Schluss erst eine bildliche Vorstellung bekommen, diese dann in Prosa übersetzen und der Schritt von Prosa in eine aussagekräftige und mathematisch korrekte Formulierung gelingt mir eigentlich nie :D
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