Messbarkeit von Funktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Fr 20.03.2015 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Wir betrachten die von der Menge [mm] \mathcal{E}:=\{\{1,2,3\},\{3,4\}\} [/mm] erzeugte [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \Sigma :=\sigma(\mathcal{E}) [/mm] auf der Menge [mm] \Omega :=\{1,2,3,4\}. [/mm] Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen [mm] f:(\Omega,\Sigma)\rightarrow (\IR,\mathcal{B}(\IR)) [/mm] messbar sind und begründen Sie Ihre Antwort:
a) [mm] f(x)=(x-3)^{2}
[/mm]
[mm] b)f(x)=|x-\bruch{3}{2}|. [/mm] |
Hallo liebe Leute, bitte um kompetente Korrektur 
[mm] \Sigma=\{\emptyset, \{1,2,3\},\{3,4\},\{1,2\},\{4\},\Omega\}
[/mm]
a)
f(1)=4, f(2)=1, f(3)=0, f(4)=1
[mm] f^{-1}(1)=\{2,4\}\not\in \Sigma
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f nicht [mm] \Sigma [/mm] -messbar
b)
[mm] f(1)=\bruch{1}{2}, f(2)=\bruch{1}{2}, f(3)=\bruch{3}{2}, f(4)=\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] f^{-1}(\bruch{3}{2})=3 \not\in \Sigma
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f nicht [mm] \Sigma [/mm] - messbar
Stimmen meine Überlungen so?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Fr 20.03.2015 | | Autor: | hippias |
> Wir betrachten die von der Menge
> [mm]\mathcal{E}:=\{\{1,2,3\},\{3,4\}\}[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm] -Algebra
> [mm]\Sigma :=\sigma(\mathcal{E})[/mm] auf der Menge [mm]\Omega :=\{1,2,3,4\}.[/mm]
> Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen
> [mm]f:(\Omega,\Sigma)\rightarrow (\IR,\mathcal{B}(\IR))[/mm] messbar
> sind und begründen Sie Ihre Antwort:
> a) [mm]f(x)=(x-3)^{2}[/mm]
> [mm]b)f(x)=|x-\bruch{3}{2}|.[/mm]
> Hallo liebe Leute, bitte um kompetente Korrektur
>
> [mm]\Sigma=\{\emptyset, \{1,2,3\},\{3,4\},\{1,2\},\{4\},\Omega\}[/mm]
Deine Algebra ist nicht richtig bestimmt. Beispielsweise gilt [mm] $\{3\}\in \sigma(\mathcal{E})$.
[/mm]
>
> a)
> f(1)=4, f(2)=1, f(3)=0, f(4)=1
>
> [mm]f^{-1}(1)=\{2,4\}\not\in \Sigma[/mm]
>
Was willst Du denn ueberhaupt zeigen. Wenn ich skeptisch waere, dann wuerde ich vermuten, dass Du irrtuemlich glaubst, dass [mm] $f^{-1}(x)\in \sigma(\mathcal{E})$ [/mm] fuer alle [mm] $x\in [/mm] Bild f$ gelten muss.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht [mm]\Sigma[/mm] -messbar
>
> b)
> [mm]f(1)=\bruch{1}{2}, f(2)=\bruch{1}{2}, f(3)=\bruch{3}{2}, f(4)=\bruch{5}{2}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(\bruch{3}{2})=3 \not\in \Sigma[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht
> [mm]\Sigma[/mm] - messbar
>
> Stimmen meine Überlungen so?
Schwer zu sagen.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 20.03.2015 | | Autor: | Topologe |
Achja, A,B [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
[mm] \Sigma=\{\emptyset,\{1,2,3\},\{3,4\},\{1,2\},\{4\},\{3\},\{1,2,4\},\Omega\}
[/mm]
Oder muss man folgendes prüfen?
f [mm] \Sigma [/mm] - messbar [mm] \gdw \{f>c\} \in \Sigma, [/mm] für alle c [mm] \in \IR, [/mm] mit [mm] \{f>c\}=\{x \in \Omega: f(x)>c\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Fr 20.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Achja, A,B [mm]\in \mathcal{A} \Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
> [mm]\Sigma=\{\emptyset,\{1,2,3\},\{3,4\},\{1,2\},\{4\},\{3\},\{1,2,4\},\Omega\}[/mm]
O.K.
>
> Oder muss man folgendes prüfen?
>
> f [mm]\Sigma[/mm] - messbar [mm]\gdw \{f>c\} \in \Sigma,[/mm] für alle c [mm]\in \IR,[/mm]
> mit [mm]\{f>c\}=\{x \in \Omega: f(x)>c\}[/mm]
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 20.03.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok, supi. Also
[mm] \{f > c\} \in \Sigma, [/mm] für alle c [mm] \in \IR?
[/mm]
a)
Sei c=2:
[mm] \{f > 2\} [/mm] = [mm] \{1\} \not\in \Sigma \Rightarrow [/mm] nicht [mm] \Sigma [/mm] - messbar
b)
[mm] \{f > 0 \} [/mm] = [mm] \Omega \in \Sigma
[/mm]
[mm] \{f > \bruch{1}{2}\} [/mm] = [mm] \{3, 4\} \in \Sigma
[/mm]
[mm] \{f > \bruch{3}{2}\} [/mm] = [mm] \{4\} \in \Sigma
[/mm]
also [mm] \{f > c\} \in \Sigma, [/mm] für alle c [mm] \in \IR \Righarrow [/mm] f [mm] \Sigma [/mm] - messbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Sa 21.03.2015 | | Autor: | hippias |
Das kannst Du so nicht schreiben: Du faengst ja voellig richtig mit "fuer alle [mm] $c\in \IR$ [/mm] muss gelten" etc. Dann aber ueberpruefst Du die Bedingung letztendlich nur fuer $3$ verschiedene Werte von $c$. Enthaelt [mm] $\IR$ [/mm] denn etwa nur diese $3$ Zahlen?
Deine Ueberlegungen werden aber sicherlich richtig sein.
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