Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Do 25.04.2019 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | Seien (X, A), (Y, B) und (Z,C) messbare Räume, d.h. Mengen mit [mm] \sigma-Algebren.
[/mm]
a) Zeigen Sie: Ist f: [mm] X\to [/mm] Y A-B-messbar und g:Y [mm] \to [/mm] Z B-C-messbar, dann ist die Komposition g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] Z A-C-messbar.
b) Für S [mm] \subset [/mm] X definieren wir die [mm] Spur-\sigma-Algebra [/mm] von [mm] \mathcal{A} [/mm] über S durch [mm] \mathcal{A}_S [/mm] := [mm] \{A \cap S | A \in \mathcal{A}\}.
[/mm]
Zeigen Sie: Ist f: X [mm] \to [/mm] Y [mm] \mathcal{A}-B-messbar, [/mm] dann ist die Einschränkung [mm] f_S: [/mm] S [mm] \to [/mm] Y [mm] \mathcal{A}_S-B-messbar. [/mm] |
zu a)
Für x [mm] \in [/mm] C ist [mm] g^{-1}(x) \in [/mm] B, woraus folgt, dass (g [mm] \circ f)^{-1}(x)=f^{-1}(g^{-1}(x)) \in \mathcal{A}.
[/mm]
Meine Frage hierzu: Ist der Beweis so schon vollständig oder ergeben sich formale/theoretische Fallstricke?
b) Mein Gedanke hierzu ist, dass für x [mm] \in [/mm] C ist [mm] f_S^{-1}(x) \in \mathcal{A}_S.
[/mm]
Da [mm] \mathcal{A}_S [/mm] eine Reduktion von einer Grundmenge X auf S ist und
f: X [mm] \to [/mm] Y A-B-messbar, ist auch [mm] \mathcal{A}_S [/mm] messbar.
Allerdings nur ein Gedanke, richtig wird es in dieser Weise vermutlich nicht sein (insb. da sehr redundant zu a)). Bekannt ist mir nur der Beweis der [mm] Spur-\sigma-Algebra.
[/mm]
Eine genauere Erläuterung wäre hilfreich/nett.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Do 25.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien (X, A), (Y, B) und (Z,C) messbare Räume, d.h. Mengen
> mit [mm]\sigma-Algebren.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Ist f: [mm]X\to[/mm] Y A-B-messbar und g:Y [mm]\to[/mm] Z
> B-C-messbar, dann ist die Komposition g [mm]\circ[/mm] f: X [mm]\to[/mm] Z
> A-C-messbar.
>
> b) Für S [mm]\subset[/mm] X definieren wir die [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm]
> von [mm]\mathcal{A}[/mm] über S durch [mm]\mathcal{A}_S[/mm] := [mm]\{A \cap S | A \in \mathcal{A}\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie: Ist f: X [mm]\to[/mm] Y [mm]\mathcal{A}-B-messbar,[/mm] dann ist
> die Einschränkung [mm]f_S:[/mm] S [mm]\to[/mm] Y [mm]\mathcal{A}_S-B-messbar.[/mm]
> zu a)
> Für x [mm]\in[/mm] C ist [mm]g^{-1}(x) \in[/mm] B, woraus folgt, dass (g
> [mm]\circ f)^{-1}(x)=f^{-1}(g^{-1}(x)) \in \mathcal{A}.[/mm]
>
> Meine Frage hierzu: Ist der Beweis so schon vollständig
> oder ergeben sich formale/theoretische Fallstricke?
Der Beweis ist O.K. Es ist nur etwas verwirrend, dass Du für Elemente von C kleine Buchstabren verwendest.
>
> b) Mein Gedanke hierzu ist, dass für x [mm]\in[/mm] C ist
> [mm]f_S^{-1}(x) \in \mathcal{A}_S.[/mm]
Ja, genau das ist zu zeigen.
Edit: zu zeigen ist: für x [mm]\in[/mm] B ist
> [mm]f_S^{-1}(x) \in \mathcal{A}_S.[/mm]
> Da [mm]\mathcal{A}_S[/mm] eine
> Reduktion von einer Grundmenge X auf S ist und
> f: X [mm]\to[/mm] Y A-B-messbar,
> ist auch [mm]\mathcal{A}_S[/mm] messbar.
das ist völlig sinnlos (Messbarkeit einer [mm] \sigma [/mm] - Algebra ????)
>
> Allerdings nur ein Gedanke, richtig wird es in dieser Weise
> vermutlich nicht sein (insb. da sehr redundant zu a)).
> Bekannt ist mir nur der Beweis der [mm]Spur-\sigma-Algebra.[/mm]
Welcher Beweis ?
>
> Eine genauere Erläuterung wäre hilfreich/nett.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 25.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Der Beweis von Aufgabe b). Ich bräuchte Hinweise, wie dieser geführt wird.
Der allgemeine Beweis einer [mm] Spur-\sigma-Algebra [/mm] ist mir bekannt, aber
unrelevant.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Do 25.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Der Beweis von Aufgabe b). Ich bräuchte Hinweise, wie
> dieser geführt wird.
Mit ordentlichen Bezeichnungen:
$f: X [mm] \to [/mm] Y $ sei [mm] \mathcal{A}- \mathcal{B}-messbar.
[/mm]
Zu zeigen ist: $ [mm] f_S: [/mm] S [mm] \to [/mm] Y $ ist [mm] \mathcal{A}_S-\mathcal{B}-messbar.
[/mm]
Sei also $Z [mm] \in \mathcal{B} [/mm] .$ Dann ist zu zeigen: [mm] $f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S.$
[/mm]
Nun ist [mm] $f_S^{-1}(Z)= [/mm] S [mm] \cap f^{-1}(Z).$
[/mm]
Zeige dies ! Das ist einfache Mengenlehre.
Dann bist Du fertig, denn die messbarkeit von f liefert $S [mm] \cap f^{-1}(Z) \in \matcal{A}_S.$
[/mm]
>
> Der allgemeine Beweis einer [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm] ist mir
> bekannt,
Ich möchte gerne noch etwas lernen. Also, was ist "der allgemeine Beweis einer [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm] " ??
> aber
> unrelevant.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Do 25.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Wenn man es dann mal gesehen hat oder sehr gebildet ist, ist es das wohl.
Was ist nun zu zeigen: [mm] f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S [/mm] oder [mm] f_S^{-1}(Z)=S \cap f^{-1}(Z).
[/mm]
Ist [mm] f_S^{-1}(Z) [/mm] nach [mm] \mathcal{A}_S-\mathcal{B}-messbar [/mm] nicht automatisch in [mm] \mathcal{A}_S [/mm] wie in Aufgabe a)?
[mm] f^{-1}(Z) \in \mathcal{A} [/mm] nach [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}.
[/mm]
So ganz klar ist es mir mit meinen beschränkten Fähigkeiten leider noch nicht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 25.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Wenn man es dann mal gesehen hat oder sehr gebildet ist,
> ist es das wohl.
Von was redest Du ?
>
> Was ist nun zu zeigen: [mm]f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S[/mm] oder
> [mm]f_S^{-1}(Z)=S \cap f^{-1}(Z).[/mm]
Wenn Du gezeigt hast, dass
[mm]f_S^{-1}(Z)=S \cap f^{-1}(Z)[/mm]
richtig ist, folgt [mm]f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S[/mm] , weil $ [mm] f^{-1}(Z) \in \mathcal{A} [/mm] $ ist.
> Ist [mm]f_S^{-1}(Z)[/mm] nach
> [mm]\mathcal{A}_S-\mathcal{B}-messbar[/mm] nicht automatisch in
> [mm]\mathcal{A}_S[/mm] wie in Aufgabe a)?
Hä ? Das verstehe ich nicht.
> [mm]f^{-1}(Z) \in \mathcal{A}[/mm] nach [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}.[/mm]
Das auch nicht.
>
> So ganz klar ist es mir mit meinen beschränkten
> Fähigkeiten leider noch nicht..
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