Messbarkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 08.10.2008 | | Autor: | ivory |
Sei [mm] (\Omega, [/mm] A ) messbarer Raum und A [mm] \in\ [/mm] A . Zeigen Sie, dass [mm] 1_A [/mm] genau dann A - B [mm] (\IR\) [/mm] -messbar ist, wenn [mm] A\in\ [/mm] A gilt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Do 09.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm](\Omega,[/mm] A ) messbarer Raum und A [mm]\in\[/mm] A . Zeigen
> Sie, dass [mm]1_A[/mm] genau dann A - B [mm](\IR\)[/mm] -messbar ist, wenn
> [mm]A\in\[/mm] A gilt.
Was sind deine Ansätze? Wie ist Messbarkeit definiert? Hier brauchst du eigentlich nur stur die Definitionen aneinanderfügen.
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Hallo, lustigerweise wollte ich genau diese Aufgabe gerade eben hier auch zur Diskussion stellen.
Wenn ich die Aufgabe richtig sehe, so muss ich folgendes zeigen:
[mm] 1_{A}^{-1}(B) \in \mathcal{A} [/mm] , [mm] \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] B [mm] (\IR) \gdw [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Ich weiss, dass folgendes gilt:
[mm] 1_{A} [/mm] (w) [mm] :=\begin{cases} 1, & \mbox{für w } \in \mbox{ A} \\ 0, & \mbox{für w } \not\in \mbox{ A} \end{cases}
[/mm]
[mm] 1_{A}^{-1}(B) [/mm] ist damit also genau dann [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] wenn B = {1}, oder?
Irgendwie bringt mich das leider alles nicht weiter :(
Vielleicht kann mir ja jemand mal einen Hinweis geben!
Danke, Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Wenn ich die Aufgabe richtig sehe, so muss ich folgendes zeigen:
> [mm]1_{A}^{-1}(B) \in \mathcal{A}[/mm] , [mm]\forall[/mm] B [mm]\in[/mm] B [mm](\IR) \gdw[/mm] A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
Klammere das bitte zur besseren Lesbarkeit: [mm](1_{A}^{-1}(B) \in \mathcal{A}, \forall B \in \mathcal{B(\IR)}) \gdw A \in \mathcal{A}[/mm]
> Ich weiss, dass folgendes gilt:
> [mm]1_{A}(w) := \begin{cases} 1, & \mbox{für w } \in \mbox{ A} \\ 0, & \mbox{für w } \not\in \mbox{ A} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]1_{A}^{-1}(B)[/mm] ist damit also genau dann [mm]\in \mathcal{A},[/mm] wenn B = {1}, oder?
B ist eine Menge. Jetzt hast du vier Möglichkeiten: Entweder ist die Null in B enthalten oder nicht oder die Eins ist in B enthalten oder nicht. Dementsprechend weisst du auch ganz genau wie [mm]1_{A}^{-1}(B)[/mm] aussieht.
Und vergiss nicht: Du hast eine "genau dann, wenn" Aussage zu beweisen, also beide Richtungen einzeln betrachten.
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> Klammere das bitte zur besseren Lesbarkeit: [mm](1_{A}^{-1}(B) \in \mathcal{A}, \forall B \in \mathcal{B(\IR)}) \gdw A \in \mathcal{A}[/mm]
Hey,
ja, tu mir leid. Ich bin noch nicht so wirklich geuebt mit der Darstellung von Formeln hier.
> B ist eine Menge. Jetzt hast du vier Möglichkeiten:
> Entweder ist die Null in B enthalten oder nicht oder die
> Eins ist in B enthalten oder nicht. Dementsprechend weisst
> du auch ganz genau wie [mm]1_{A}^{-1}(B)[/mm] aussieht.
>
> Und vergiss nicht: Du hast eine "genau dann, wenn" Aussage
> zu beweisen, also beide Richtungen einzeln betrachten.
Irgendwie stehe ich leider immer noch auf dem Schlauch. Sagen wir mal ich wuerde zuerst von rechts nach links beweisen, dann haette ich ja:
[mm]A \in \mathcal{A} \Rightarrow 1_{A}^{-1}(B) \in \mathcal{A} \forall B, 1 \in B[/mm]
Hier muss jedoch irgendetwas falsch sein, da es ja fuer alle [mm]\mathcal{B(\IR)}[/mm] gelten muss?!
Danke fuer deine Hilfe!
Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
B ist eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm], [mm]\I1_A[/mm] ist eine Funktion die nach [mm] \IR [/mm] abbildet.
Also angenommen [mm]1 \in B[/mm] und [mm]0 \not\in B[/mm]. Dann ist [mm]\I1_A^{-1}(B) = A[/mm].
Angenommen [mm]1 \not\in B[/mm] und [mm]0 \not\in B[/mm]. Dann ist [mm]\I1_A^{-1}(B) = \emptyset[/mm].
Die anderen beiden Fälle kannst du genauso leicht aufstellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 11.10.2008 | | Autor: | timgkeller |
Hey Merle23,
vielen Dank fuer deine Hilfe, ich denke jetzt habe ich es verstanden ;)
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