Messbar, integrierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 19.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Menge:
[mm] $\matcal{L}^2(\mathbb{R}^n):=\{f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}| f\text{messbar}, f^2\text{integrierbar}\}$
[/mm]
Beweisen Sie:
a) [mm] $\mathbb{L}^2(\mathbb{R}^n)$ [/mm] ist ein Vektorraum
b) [mm] $\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n) \nsubseteq \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $\mathcal{L}^1(\mathbb{R}^n) \nsubseteq \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n$
[/mm]
c) [mm] \left(\int_{\mathbb{R}^n} |f(x)g(x)|\, dx\right)^2\leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\, [/mm] dx [mm] \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2\, [/mm] dx |
Hi,
ich würde gerne mit etwas Hilfe den Aufgabenteil c) bearbeiten. Die anderen habe ich nur zur Vollständigkeit aufgeführt. Auch wenn ich mich bei a) frage, ob es auch eine elegantere Möglichkeit gibt dies zu zeigen, als alle Vektorraumaxiome nachzurechnen...
Bei der c) ist noch als Hinweis gegeben zu erst den Fall
[mm] $\int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\, dx=\int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2\, [/mm] dx=1$
zu betrachten.
Ich frage mich jedoch ob diese Ungleichung nicht direkt aus der Cauchy-Schwarz Ungleichung folgt?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ja, (c) folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (für Prähilberträume). Dafür ist zu zeigen, dass $ [mm] (f,g)=\int_{\mathbb{R}^n} [/mm] f(x)g(x) dx $ ein Skalarprodukt auf [mm] $L^2(\IR^n)$ [/mm] ist (genauer genommen muss man die positive Definitheit nicht zeigen).
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 19.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann man diese Ungleichung auch "direkt" zeigen, also ohne Cauchy-Schwarz anzuwenden?
Um zu zeigen, dass es sich um ein Skalarprodukt handelt muss ich zeigen, dass es bilinear, symmetrisch und positiv Definit ist.
Positiv Definit ist klar, du sagtest ja, dass man es nicht zeigen müsste.
Die Symmetrie ist auch klar, wegen der Kommutativität, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ja.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 19.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Weißt du worauf der gegebene Tipp abzielt?
Im Grunde ist mir unklar, warum ich zeigen muss, dass es sich um ein Skalarprodukt handelt um die Cauchy-Schwarz Ungleichung anzuwenden.
Auch weiß ich nicht was ein Prähilbertraum ist bzw. wurde das bisher in der Vorlesung nicht thematisiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
> Weißt du worauf der gegebene Tipp abzielt?
Für $ [mm] \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\, dx=\int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2\, [/mm] dx=1 $ ist die Ungleichung trivial wahr, den [mm] $(\int |fg|)^2\le (\frac{1}{2}(\int |f|^2+\int |g|^2))^2=1= \int |f|^2 \int |g|^2$
[/mm]
> Im Grunde ist mir unklar, warum ich zeigen muss, dass es
> sich um ein Skalarprodukt handelt um die Cauchy-Schwarz
> Ungleichung anzuwenden.
Ok, dann schau dir die Formulierung des entsprechenden Satzes an.
>
> Auch weiß ich nicht was ein Prähilbertraum ist bzw. wurde
> das bisher in der Vorlesung nicht thematisiert.
Ist auch kein Begriff aus der Integrationstheorie.
Prähilbertraum=Vektorraum mit Skalarprodukt
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mi 19.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Achso, die Cauchy-Schwarz Ungleichung gilt nur für Vektorräume auf denen es ein Skalarprodukt gibt. Ok, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 19.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich zeige also nun die bilinearität.
Seien $f,g,h [mm] \in L^2(\mathbb{R}^n)$ [/mm] Dann muss ich zeigen
1. $(f+h,g)=(f,g)+(h,g)$
2. $(f,g+h)=(f,h)+(f,g)$
Wobei 1. und 2. Analog gehen.
3. [mm] $(\lambda [/mm] f, [mm] g)=\lambda(f,g)=(f,\lambda [/mm] g)$
Zu 1)
[mm] $(f+h,g)=\int_{\mathbb{R^n}} |(f+h)(x)||g(x)|\, [/mm] dx$
[mm] $=\int_{\mathbb{R^n}} |f(x)+h(x)||g(x)|\, [/mm] dx$ Wegen Linearität der Addition von Funktionen
[mm] $=\int_{\mathbb{R^n}}|f(x)||g(x)|+|h(x)||g(x)|\, [/mm] dx$
[mm] $=\int_{\mathbb{R^n}} |f(x)||g(x)|+\int_{\mathbb{R^n}} [/mm] |h(x)||g(x)|$ Weil das Integral Linear ist.
$=(f,g)+(h,g)$
2. geht Analog
zu 3)
[mm] $(f,\lambda g)=\int_{\mathbb{R^n}}|f(x)||\lambda g(x)|\, [/mm] dx$
[mm] $=\int_{\mathbb{R^n}}|f(x)||\lambda||g(x)|\, dx=\int_{\mathbb{R^n}}|\lambda f(x)||g(x)|\, dx=\lambda\int_{\mathbb{R^n}} |f(x)||g(x)|\, [/mm] dx$
Also
[mm] $(f,\lambda g)=\lambda [/mm] (f,g)$
Es handelt sich also um eine Bilinearform.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Das Skalarprodukt ist [mm] $(f,g)=\int_{\mathbb{R}^n} [/mm] f(x)g(x)\ dx $, kann sein, dass ich vorher den Betrag mit reinkopiert habe. Mit Betrag ist das aber kein Skalarprodukt, da nicht linear.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mi 19.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich die Rechnung noch einmal ohne Betrag genau so hinschreibe müsste es aber in Ordnung sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Genau.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke.
Hättest du für die a) einen Tipp wie ich mit weniger Aufwand zeigen kann, dass es sich um einen Vektorraum handelt?
bzw. hättest du auch für die b) einen Tipp?
Edit: Eine Frage hätte ich zu der c) doch noch. Wieso "ignoriere" ich bei der Verifizierung, dass es sich um eine Biliniearform handelt einfach den Betrag? Warum darf ich das tun.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
> Danke.
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> Hättest du für die a) einen Tipp wie ich mit weniger
> Aufwand zeigen kann, dass es sich um einen Vektorraum
> handelt?
Man rechnet einfach die UVR-Axiome nach. Interessant ist nur $f,g [mm] \in L^2 \Rightarrow [/mm] f+g [mm] \in L^2$
[/mm]
>
> bzw. hättest du auch für die b) einen Tipp?
Sollte nicht so schwer sein passende Beispiele zu finden. [mm] $f(x)=\frac{1}{|x|+1}$ [/mm] ist eins für n=1. Mit einer kleinen Aenderung funktioniert das auch für beliebiges $n$.
>
> Edit: Eine Frage hätte ich zu der c) doch noch. Wieso
> "ignoriere" ich bei der Verifizierung, dass es sich um eine
> Biliniearform handelt einfach den Betrag? Warum darf ich
> das tun.
Du wendest Cauchy-Schwarz auf $|f|,|g|$ an.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, und warum reicht es die UVR Axiome zu prüfen?
Wofür soll deine Funktion ein Beispiel sein? Für eine Funktion, die in [mm] $L^2(\mathbb{R}^n)$ [/mm] aber nicht in [mm] $L^1(\mathbb{R}^n)$ [/mm] ist?
Muss man es auf beliebiges n verallgemeinern? Es reicht doch jeweils ein Beispiel anzugeben um es zu widerlegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
> Hmm, und warum reicht es die UVR Axiome zu prüfen?
>
Weil die Menge der Funktionen von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$ [/mm] ein Vektorraum bilden.
> Wofür soll deine Funktion ein Beispiel sein? Für eine
> Funktion, die in [mm]L^2(\mathbb{R}^n)[/mm] aber nicht in
> [mm]L^1(\mathbb{R}^n)[/mm] ist?
ja
>
> Muss man es auf beliebiges n verallgemeinern? Es reicht
> doch jeweils ein Beispiel anzugeben um es zu widerlegen?
Ich würde es für alle n zeigen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Leider verstehe ich das Argument nicht, dass wenn die Funktionen von $\mathbb{R}^n$ nach $\mathbb{R}$ einen Vektorraum bilden, es für mich reicht hier die UVR Axiome zu prüfen.
Heißt das, dass die Untervektorräume automatisch Vektorräume sind?
$L^1(\mathbb{R}^n):=\{f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}|f\text{messbar}, f\text{integrierbar}$
Richtig?
Wieso ist $f(x)=\frac{1}{|x|+1}$ nicht integrierbar? Die Funktion ist doch auf ganz $\mathbb{R}$ stetig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Stetige Funktionen auf unbeschränkten Mengen sind aber i.A. nicht integrierbar. Dass f nicht integrierbar ist liegt an [mm] $\ln(x)\to \infty$, [/mm] falls $x [mm] \to \infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Das verstehe ich nicht. [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist doch eine unbeschränkte Menge. Und hier gilt doch, dass stetige Funktionen integrierbar sind?
Verstehe ich etwas falsch?
Vielen Dank für deine Hilfe, aber ich gehe nun erstmal schlafen.
Lebst du eigentlich tatsächlich in den Vereinigten Staaten?
Wie spät ist es denn bei euch? :)
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
> Das verstehe ich nicht. [mm]\mathbb{R}[/mm] ist doch eine
> unbeschränkte Menge. Und hier gilt doch, dass stetige
> Funktionen integrierbar sind?
Nein. Primitives Beispiel: $f: [mm] \IR \to \IR, \quad [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1$. Es ist $f [mm] \notin \mathcal{L}(\IR,\mu)$ [/mm] wobei [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesgue-Maß ist.
>
> Verstehe ich etwas falsch?
>
> Vielen Dank für deine Hilfe, aber ich gehe nun erstmal
> schlafen.
> Lebst du eigentlich tatsächlich in den Vereinigten
> Staaten?
> Wie spät ist es denn bei euch? :)
>
5p.m.
> mfg
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Das stetige Funktionen integrierbar sind gilt also nur für Riemann integrierbare Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das stetige Funktionen integrierbar sind gilt also nur für
> Riemann integrierbare Funktionen?
Ist K eine kompakte Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und f:K [mm] \to \IR [/mm] stetig, so ist f integrierbar über K.
Für eine beliebige (messbare) Menge ist obiges i.a. falsch.
Bsp: [mm] K=\IR^n, [/mm] f(x)=1 für x [mm] \in [/mm] K.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok.
Wie kann ich nun am besten zeigen, dass obiges Beispiel nicht integrierbar ist?
Hat die Seite bei euch auch gerade ungewöhnlich lange Ladezeiten?
Liegt wahrscheinlich an meiner Internetverbindung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Welches Beispiel?
Die Funktion, die konstant 1 ist?
Es ist [mm] $\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm{d}x=\infty$, [/mm] also ist die Funktion nicht integrierbar.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, dann funktioniert dein obiges Beispiel analog, es ist ja
[mm] $\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{|x|+1}\, dx=\infty$
[/mm]
also nicht integrierbar. und
[mm] $\int_{\mathbb{R}} \left(\frac{1}{|x|+1}\right)\, [/mm] dx=2$
Also integrierbar. Somit ist diese Funktion in [mm] $L^2$ [/mm] aber nicht in [mm] $L^1$.
[/mm]
Nun muss ich noch eine Funktion finden die in [mm] $L^1$ [/mm] aber nicht in [mm] $L^2$ [/mm] ist.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Ja, ist richtig.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Do 20.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Schön.
Du hättest nicht zufällig ein Beispiel für die andere Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Fr 21.11.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, es ist aber nicht schwer ein, im gewissen Sinne komplementäres Beispiel zu finden, d.h. z.B. eine Funktion die für $x [mm] \to [/mm] 0$ "langsam", deren Quadrat aber für $x [mm] \to [/mm] 0$ hinreichend schnell divergiert, sodass f integrierbar ist, aber nicht ihr Quadrat.
Liebe Grüße
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