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| Aufgabe | Betrachten Sie im folgenden für beliebige nichtleere Mengen A und B und eine beliebige Abbildung $f : A [mm] \to [/mm] B$ die zugehörige mengenwertige Umkehrabbildung:
[mm] $f^{-1} [/mm] : [mm] \mathcal [/mm] P(B) [mm] \to [/mm] P(A) : Y [mm] \mapsto f^{-1}(Y) [/mm] := [mm] \{a \in A | f(a) \in Y\}$
[/mm]
Unter den folgenden Voraussetzungen an $f$:
i) die Abbildung $f$ ist surjektiv.
ii) die Abbildung $f$ ist injektiv.
iii) die Abbildung $f$ ist bijektiv.
sollen Sie nun Abbildungseigenschaften für [mm] $f^{-1}$ [/mm] folgern, nämlich:
a) Beweisen oder widerlegen Sie, unter jeweils einer der obigen Voraussetzungen i), ii), iii) dass die obige Abbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] stets injektiv ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie, unter jeweils einer der obigen Voraussetzungen i), ii), iii), dass die obige Abbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] stets surjektiv ist. |
Hallo,
muss ich bei den beiden Teilaufgaben a) und b) jeweils alle drei Voraussetzungen beweisen, oder genügt es, wenn ich für jede Teilaufgabe jeweils nur eine Voraussetzung beweise?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du sollst überhaupt keine Voraussetzungen beweisen !
Zu a) Du sollst folgendes machen:
1. gilt i), ist dann $ [mm] f^{-1} [/mm] $ injektiv ? Beweis oder Gegenbeispiel.
2. gilt ii), ist dann $ [mm] f^{-1} [/mm] $ injektiv ? Beweis oder Gegenbeispiel.
3. gilt iii), ist dann $ [mm] f^{-1} [/mm] $ injektiv ? Beweis oder Gegenbeispiel.
FRED
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Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe die folgende Schwierigkeit:
Ich weiß, dass eine Funktion nur dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn sie bijektiv (also surjektiv und injektiv) ist.
Wie soll ich hier aber zeigen, dass die Funktion bijektiv ist bzw. genügt ein Beispiel oder muss ein mathematischer Beweis her (wie sieht das dann aus)?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe die folgende Schwierigkeit:
> Ich weiß, dass eine Funktion nur dann eine Umkehrfunktion
> besitzt, wenn sie bijektiv (also surjektiv und injektiv)
> ist.
> Wie soll ich hier aber zeigen, dass die Funktion bijektiv
> ist bzw. genügt ein Beispiel oder muss ein mathematischer
> Beweis her (wie sieht das dann aus)?
Hallo,
ich glaub', wir müssen erstmal klären, was hier in der Aufgabe getan werden soll.
Die Zutaten sind zunächst einmal eine beliebige Funktion [mm] f:A\to [/mm] B und eine Funktion [mm] F:\mathcal{P}(B)\to [/mm] mathcal{P}(A).
F ist also eine Funktion, welche gewisse Mengen auf Mengen abbildet.
Es wird auch gesagt, wie F das tut:
es ist [mm] F(Y):=f^{-1}(Y) [/mm] für alle [mm] Y\in \mathcal{P}(B).
[/mm]
Nun sollst Du Eigenschaften von F untersuchen, und zwar
i) für surjektives f
ii) für injektives f
iii) für bijektives f
Verwirrung stiftet hier wohl gerade [mm] f^{-1}(Y).
[/mm]
Das hat mit "Umkehrfunktion" von f nichts zu tun! Es ist das Urbild von Y unter der Abbildung f, und was damit gemeint ist, ist ja in der Aufgabenstellung erklärt: die Menge der Elemente, deren Funktionswerte (unter f) in Y liegen.
Zum Beweisen reichen hier natürlich keine Beispiele.
Beweisen tut man mit einem Beweis, Widerlegen kann man mit einem Gegenbeipiel.
Aber "Beispiel" ist ein gutes Stichwort: mach Dir doch erstmal ein Beispiel, damit Du übehaupt weißt, wie die Funktion F funktioniert.
Nimm z.B. [mm] A:=\{a,b\}, B:=\{1,2,3\},
[/mm]
[mm] f:A\to [/mm] B mit
f(a)=1
f(b)=2.
Schreib [mm] \mathcal{P}(B) [/mm] auf und mathcal{P}(A),
und danach dann für alle [mm] T\in [/mm] T, was F(T) ist.
Wenn Du das getan hast, hast Du einen kleinen Eindruck davon, worum es geht.
Gruß v. Angela
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