Mengenrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 02.11.2005 | | Autor: | zoe1981 |
Hallo,
ich habe vollgende Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter. Die Aufgabe lautet:
Man finde jeweils ein Beispiel für eine Relation auf eine Menge, die
a) reflexiv, aber weder symmetrisch noch transitiv ist
b) symmetrisch, aber weder transitiv noch reflexiv ist
c) transitiv, aber weder symmetrisch noch reflexiv ist
Soweit die Aufgabe. Ich habe mir bisher folgendes überlegt:
a) man könnte die menge aller nxn-Matrizen definieren. Die Teilmenge wäre dann die Matritzenmultiplikation. Da die nicht kommutativ ist, ist die symmetrie ausgeschlossen. reflexiv ist sie ja. aber eigentlich düfte diese Relation ja nicht transitiv sein, ich kanns aber nicht beweisen.
b) ich habe zwei reelle mengen A und B, die relation ist durch a ungleich b definiert, da a=a gilt die reflexivität nicht.
symmetrisch ist es ja, da a ungleich b und b ungleich a
aber da hänge ich wieder an der transitivität. wenn ich jetzt sage, dass 1 ungleich 3 und 3 ungleich 1 ist es ja nicht transitiv, aber geht das, dass ich die definition der transitivität so ausweite?
c) ich habe keine Ahnung
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte. Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch und habe keine Ahnung, wo mein Denkfehler liegt.
Die Definitionen, die wir verwenden, kann ich gern nachreichen, wenn es nötig wird, ich bin jetzt zu faul zum tippen *ggg*
danke!
lg zoe
p.s.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
p.s.2 : ich habe bis dienstag für die lösung dieser aufgabe zeit, muss also dienstag um acht abgeben.
|
|
| |
|
Hallo!
> Man finde jeweils ein Beispiel für eine Relation auf eine
> Menge, die
>
> a) reflexiv, aber weder symmetrisch noch transitiv ist
>
> b) symmetrisch, aber weder transitiv noch reflexiv ist
>
> c) transitiv, aber weder symmetrisch noch reflexiv ist
>
> Soweit die Aufgabe. Ich habe mir bisher folgendes
> überlegt:
>
> a) man könnte die menge aller nxn-Matrizen definieren. Die
> Teilmenge wäre dann die Matritzenmultiplikation. Da die
> nicht kommutativ ist, ist die symmetrie ausgeschlossen.
> reflexiv ist sie ja. aber eigentlich düfte diese Relation
> ja nicht transitiv sein, ich kanns aber nicht beweisen.
Mmh - ich glaube, da verstehst du etwas falsch... Die Matrizenmultiplikation ist doch keine Teilmenge! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Aber ich habe ein Beispiel für dich - ich glaube, es stand so oder so ähnlich mal auf unserem Übungsblatt:
Sei M die Menge aller Menschen und R die Relation: x R y [mm] \gdw [/mm] x kennt y (ich weiß, hört sich nicht sehr mathematisch an, ist aber eigentlich ganz lustig)
Wenn wir es mal nicht allzu philosophisch sehen, dann ist die Relation reflexiv, denn schließlich kennt sich jeder selber, also x kennt x und somit x R x.
Nun ist diese Relation aber nicht unbedingt symmetrisch, denn es kann ja sein, dass du jemanden kennst, der dich nicht kennt (wieso auch immer  ), also gilt x kennt y aber es gilt nicht y kennt x, und somit x R y aber nicht y R x und somit nicht symmetrisch.
Transitiv ist diese Relation auch nicht, dann wenn du jemanden kennst, der wieder jemanden anders kennt, heißt das noch lange nicht, dass du diese Person auch kennst. Kannst du das nun auch noch mit der Relation so ausdrücken, wie ich gerade gemacht habe?
>
> b) ich habe zwei reelle mengen A und B, die relation ist
> durch a ungleich b definiert, da a=a gilt die reflexivität
> nicht.
> symmetrisch ist es ja, da a ungleich b und b ungleich a
> aber da hänge ich wieder an der transitivität. wenn ich
> jetzt sage, dass 1 ungleich 3 und 3 ungleich 1 ist es ja
> nicht transitiv, aber geht das, dass ich die definition der
> transitivität so ausweite?
Mmh - du meinst also, dass aus deinem Beispiel, wenn die Relation transitiv wäre, gelten müsste [mm] 1\not=1!? [/mm] Ich weiß gerade nicht, ob das so geht... Aber ein anderes Beispiel fällt mir auch nicht ein.
> c) ich habe keine Ahnung
Das ist doch eigentlich ganz einfach - probiere es doch mal mit der "<"-Relation.
> Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte. Irgendwie
> stehe ich auf dem Schlauch und habe keine Ahnung, wo mein
> Denkfehler liegt.
> Die Definitionen, die wir verwenden, kann ich gern
> nachreichen, wenn es nötig wird, ich bin jetzt zu faul zum
> tippen *ggg*
Nein, nein, diese Begriffe müssten jedem Mathestudenten seit den ersten Semesterwochen bekannt sein. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mi 02.11.2005 | | Autor: | zoe1981 |
Hallo!
danke schon mal für deine Antwort. Langsam kommt licht in mein Gedankenchaos :)
> Mmh - ich glaube, da verstehst du etwas falsch... Die
> Matrizenmultiplikation ist doch keine Teilmenge!
Hmm, ich bin mir auch nicht sicher, aber ich dachte mir, dass c die Menge aller nxn-Matrizen ist, und
R= {x/ (a,b), a*b mit a,b Element C }
Dann wäre es doch aber eine Menge, oder steh ich da auf dem Schlauch?
> Sei M die Menge aller Menschen und R die Relation: x R y
> [mm]\gdw[/mm] x kennt y (ich weiß, hört sich nicht sehr mathematisch
> an, ist aber eigentlich ganz lustig)
> Wenn wir es mal nicht allzu philosophisch sehen, dann ist
> die Relation reflexiv, denn schließlich kennt sich jeder
> selber, also x kennt x und somit x R x.
> Nun ist diese Relation aber nicht unbedingt symmetrisch,
> denn es kann ja sein, dass du jemanden kennst, der dich
> nicht kennt (wieso auch immer ), also gilt x kennt y
> aber es gilt nicht y kennt x, und somit x R y aber nicht y
> R x und somit nicht symmetrisch.
> Transitiv ist diese Relation auch nicht, dann wenn du
> jemanden kennst, der wieder jemanden anders kennt, heißt
> das noch lange nicht, dass du diese Person auch kennst.
> Kannst du das nun auch noch mit der Relation so ausdrücken,
> wie ich gerade gemacht habe?
transitivität wäre also:
a kennt b (aRb) b kennt c (bRc) aber es gilt nicht explizit, dass (aRc) (also a kennt c)
Das Beispiel gefällt mir, hab ja Philosophie als Zweitfach :D
(und der hiwi, der die übungsgruppe leitet auch *lol*)
> Mmh - du meinst also, dass aus deinem Beispiel, wenn die
> Relation transitiv wäre, gelten müsste [mm]1\not=1!?[/mm] Ich weiß
> gerade nicht, ob das so geht... Aber ein anderes Beispiel
> fällt mir auch nicht ein.
transitivität ist doch wenn (a,b) Element R und (b,c) Element R, dann gilt auch, dass (a,c) Element R
kann ich dann wirklich einfach voraussetzten, dass a=c sein kann?
> Das ist doch eigentlich ganz einfach - probiere es doch mal
> mit der "<"-Relation.
M = {(a,b)/ a<b, a,b Element R}
reflexiv: a<a gilt nicht (1<1 ist zahlenbeispiel)
symmetrie: a<b gilt, aber b<a gilt nicht (zahlen: 1<2, aber 2<1 gilt nicht)
transitiv: a<b, b<c müsste a<c folgen, das gilt nach den Ordnungsaxiomen für reelle Zahlen.
Danke,
LG Michaela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Do 03.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Halloechen,
ihr seid ja eigentlich schon fast fertig, aber ich will meinen Senf auch noch dazu geben:
> > Mmh - ich glaube, da verstehst du etwas falsch... Die
> > Matrizenmultiplikation ist doch keine Teilmenge!
>
> Hmm, ich bin mir auch nicht sicher, aber ich dachte mir,
> dass c die Menge aller nxn-Matrizen ist, und
> R= {x/ (a,b), a*b mit a,b Element C }
> Dann wäre es doch aber eine Menge, oder steh ich da auf dem
> Schlauch?
>
ich verstehe immernoch nicht, welche Teilmenge von MxM du meinst, wobei M eine Menge von Matrizen ist.
Du koenntest es aber so machen:
Sei M die Menge alle Matrizen (also beliebige Dimensionen und nicht nur quadratisch), dann steht eine Matrix M1 in Relation zu einer Matrix M2, wenn M1*M2 wohldefiniert ist (d.h. wenn man es ausrechnen kann - also die Dimensionen passen)
Reflexivitaet ist klar und fuer Symmetrie und Transitivitaet findet man schnell Gegenbeispiele...
> > Mmh - du meinst also, dass aus deinem Beispiel, wenn die
> > Relation transitiv wäre, gelten müsste [mm]1\not=1!?[/mm] Ich weiß
> > gerade nicht, ob das so geht... Aber ein anderes Beispiel
> > fällt mir auch nicht ein.
>
>
> transitivität ist doch wenn (a,b) Element R und (b,c)
> Element R, dann gilt auch, dass (a,c) Element R
> kann ich dann wirklich einfach voraussetzten, dass a=c
> sein kann?
>
Ja, transitivitaet muss fuer alle a und c gelten also insbesondere auch fuer a=c.
Es gab doch mal so eine schoene Aufgabe : warum folgt aus Symmetrie und Transitivitaet nicht die Reflexivitaet ?
Aber Fakt ist, wenn du weisst, dass (aRb) und (bRa) und transitivitaet gilt, dann muss auch (aRa) gelten - deshalb hast du tatsaechlich ein Gegenbeispiel gefunden.
also gilt fuer "ungleich" zwar symmetrie, aber weder transitivitaet noch reflexivitaet...
>
> > Das ist doch eigentlich ganz einfach - probiere es doch mal
> > mit der "<"-Relation.
>
> M = {(a,b)/ a<b, a,b Element R}
> reflexiv: a<a gilt nicht (1<1 ist zahlenbeispiel)
> symmetrie: a<b gilt, aber b<a gilt nicht (zahlen: 1<2,
> aber 2<1 gilt nicht)
> transitiv: a<b, b<c müsste a<c folgen, das gilt nach den
> Ordnungsaxiomen für reelle Zahlen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , alles richtig..
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
|
