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| Aufgabe | Sind die Folgenden Behauptungen richtig? Bestaetigen Sie die Beh. durch einen formalen Beweis oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
b) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap \overline{B} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
c) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw \overline{A} \cup [/mm] B = U
Alle Mengen A, B, C, D sind Teilmengen der Menge U |
Hallo,
braeuchte nochmal eure Hilfe:
zu b)
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei x beliebig mit x [mm] \in [/mm] A, dann gilt x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in \overline{B} [/mm] (wegen A [mm] \subseteq [/mm] B) fuer alle x [mm] \in [/mm] A.
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap \overline{B}, [/mm] x muss in beiden Mengen der Schnittmenge enthalten sein, da es aber in einem der beiden Mengen [mm] (\overline{B}) [/mm] nicht enthalten ist, kann es auch nicht in der Schnittmenge enthalten sein. Da es "fuer alle x" gilt, muss ausserdem
A [mm] \cap \overline{B} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] gelten.
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Weil A [mm] \cap \overline{B} [/mm] leer ist, hat es keine Elemente, somit sind also alle x in der Negation: [mm] \overline{A \cap \overline{B}}
[/mm]
Mit DeMorgan [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \overline{A} \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \overline{A} [/mm] und x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A da A [mm] \subseteq [/mm] B
zu c)
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B, dann ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in \overline{A} [/mm] und x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \overline{A} \cup [/mm] B. Wenn jetzt [mm] \overline{A} \cup [/mm] B [mm] \not= [/mm] U waere, so waere A keine Teilmenge von B, weil [mm] \overline{A} [/mm] (gesamter Bereich ohne A) Vereinigt mit B, noch nicht belegte Teile von A oder ganz A enthielte.
Somit muss [mm] \overline{A} \cup [/mm] B = U gelten, damit die Aussage A [mm] \subseteq [/mm] B stimmt.
Rueckrichtung spar ich mir erstmal.
Ist das so richtig? Wie kann ich das ganze noch uebersichtlicher gestalten?
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 01.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
bezeichnet bei dir [mm] $\overline{B}$ [/mm] das Komplement von B (U [mm] $\setminus$ [/mm] B)
oder den Abschluss von B?
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 01.06.2014 | | Autor: | mathlooser |
Hallo,
das Komplement. Wusste nicht, dass es noch eine ander Bedeutung gibt.
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sind die Folgenden Behauptungen richtig? Bestaetigen Sie
> die Beh. durch einen formalen Beweis oder widerlegen Sie
> sie durch ein Gegenbeispiel.
>
> b) A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cap \overline{B}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> c) A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw \overline{A} \cup[/mm] B = U
>
> Alle Mengen A, B, C, D sind Teilmengen der Menge U
>
> Hallo,
>
> braeuchte nochmal eure Hilfe:
>
> zu b)
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> Sei x beliebig mit x [mm]\in[/mm] A, dann gilt x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\not\in \overline{B}[/mm]
> (wegen A [mm]\subseteq[/mm] B) fuer alle x [mm]\in[/mm] A.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\cap \overline{B},[/mm] x muss in beiden
> Mengen der Schnittmenge enthalten sein, da es aber in einem
> der beiden Mengen [mm](\overline{B})[/mm] nicht enthalten ist, kann
> es auch nicht in der Schnittmenge enthalten sein. Da es
> "fuer alle x" gilt, muss ausserdem
>
> A [mm]\cap \overline{B}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] gelten.
Nein, so nicht.
Vorausgesetzt ist: A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B . Zeigen sollst Du: $ A [mm] \cap \overline{B} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $.
Dazu nehmen wir an, es gäbe ein x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap \overline{B}. [/mm] Dann ist x [mm] \in [/mm] A , aber x [mm] \notin [/mm] B. Wegen A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B, ist aber doch x [mm] \in [/mm] B. Widerspruch !.
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> Weil A [mm]\cap \overline{B}[/mm] leer ist, hat es keine Elemente,
> somit sind also alle x in der Negation: [mm]\overline{A \cap \overline{B}}[/mm]
>
> Mit DeMorgan [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \overline{A} \cup[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \overline{A}[/mm] und x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] A da A [mm]\subseteq[/mm] B
Das ist völliger Murks ! Sei x [mm] \in [/mm] A. Annahmen: x [mm] \notin [/mm] B. Dann haben wir: A [mm] \cap \overline{B} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Widerspruch !
>
> zu c)
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> Sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B, dann ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in \overline{A}[/mm] und x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm]
> x [mm]\in \overline{A} \cup[/mm] B. Wenn jetzt [mm]\overline{A} \cup[/mm] B
> [mm]\not=[/mm] U waere, so waere A keine Teilmenge von B, weil
> [mm]\overline{A}[/mm] (gesamter Bereich ohne A) Vereinigt mit B,
> noch nicht belegte Teile von A oder ganz A enthielte.
>
> Somit muss [mm]\overline{A} \cup[/mm] B = U gelten, damit die
> Aussage A [mm]\subseteq[/mm] B stimmt.
Auch das ist Murks ! Klar ist: $ [mm] \overline{A} \cup [/mm] $ B [mm] \subseteq [/mm] U
Nun sei x [mm] \in [/mm] U.
Fall 1: x [mm] \in [/mm] A. Dann ist x [mm] \in [/mm] B, also x [mm] \in [/mm] $ [mm] \overline{A} \cup [/mm] $ B
Fall 2: x [mm] \in \overline{A}. [/mm] Dann ist x [mm] \in [/mm] $ [mm] \overline{A} \cup [/mm] $ B
Fazit: U [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] \overline{A} \cup [/mm] $ B
FRED
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> Rueckrichtung spar ich mir erstmal.
>
> Ist das so richtig? Wie kann ich das ganze noch
> uebersichtlicher gestalten?
>
> Gruss
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> mathlooser
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