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| Aufgabe 1 | Seien X,Y [mm] \sebseteq [/mm] M und das Komplement einer Menge Z [mm] \subseteq [/mm] definiert als [mm] Z^C:= M\setminus [/mm] Z
Zeigen Sie:
X [mm] \subseteq [/mm] Y <=> [mm] Y^C \subseteq X^C
[/mm]
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| Aufgabe 2 | X=Y <=> [mm] Y^C [/mm] = [mm] X^C
[/mm]
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| Aufgabe 3 | | X [mm] \cap Y^C [/mm] = 0 <=> [mm] X^C \cup [/mm] Y = M |
Hallo, wie beweist man so was?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 27.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien X,Y [mm]\sebseteq[/mm] M und das Komplement einer Menge Z
> [mm]\subseteq[/mm] definiert als [mm]Z^C:= M\setminus[/mm] Z
> Zeigen Sie:
>
> X [mm]\subseteq[/mm] Y <=> [mm]Y^C \subseteq X^C[/mm]
> Hallo, wie beweist man so was?
beschränken wir uns erstmal auf diese Aufgabe. Es sind zwei Richtungen zu beweisen:
1. Teil: [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] (d.h. zu beweisen ist die Folgerung: $X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \Rightarrow Y^C \subseteq X^C$):
[/mm]
Hier wird (neben der Generalvoraussetzung: $X,Y,Z [mm] \subseteq [/mm] M$ und [mm] $Z^C:=M \setminus [/mm] Z$) vorausgesetzt, dass $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ ist. Zu beweisen ist:
Dann gilt [mm] $Y^C \subseteq X^C$.
[/mm]
Ich führe Dir den Beweis mal vor:
Wir haben zu zeigen: Wenn $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ ist, dann gilt schon: Ist [mm] $\tilde{y} \in Y^C$ [/mm] ein beliebiges, festgewähltes Element, so ist auch schon [mm] $\tilde{y} \in X^C\,.$
[/mm]
Gehen wir es an:
Sei also [mm] $\tilde{y} \in Y^C\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $\tilde{y} \in [/mm] M$ und [mm] $\tilde{y} \notin Y\,.$ [/mm] Angenommen, es wäre [mm] $\tilde{y} \in X\,.$ [/mm] Wegen $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ wäre dann auch [mm] $\tilde{y} \in [/mm] Y$ im Widerspruch zu [mm] $\tilde{y} \in Y^C\,.$ [/mm] Somit gilt, neben [mm] $\tilde{y} \in [/mm] M$, auch [mm] $\tilde{y} \notin X\,,$ [/mm] und daher [mm] $\tilde{y} \in X^C\,.$ [/mm] Da [mm] $\tilde{y} \in Y^C$ [/mm] beliebig war, ist [mm] $Y^C \subseteq X^C\,.$
[/mm]
2. Teil: [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] (d.h. zu beweisen ist die Folgerung: [mm] $Y^C \subseteq X^C \Rightarrow [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] Y$):
Hier wird (neben der Generalvoraussetzung: $X,Y,Z [mm] \subseteq [/mm] M$ und [mm] $Z^C:=M \setminus [/mm] Z$) vorausgesetzt, dass [mm] $Y^C \subseteq X^C$ [/mm] ist. Zu beweisen ist:
Dann gilt $X [mm] \subseteq [/mm] Y$.
Gehen wir es also an:
Sei also $x [mm] \in X\,.$ [/mm] Nimm' nun an, es wäre $x [mm] \notin Y\,.$ [/mm] Dann wäre $x [mm] \in Y^C\,.$ [/mm] Welchen Widerspruch erhältst Du nun, wenn Du die Voraussetzung [mm] $Y^C \subseteq X^C$ [/mm] benutzt?
P.S.:
Versuchst Du den Rest der Aufgabe erstmal alleine? Es geht schon darum, dass Du Beweise und Beweisstrukturen (erkennen) lernst...
Gruß,
Marcel
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