Mengenlehre Beweis < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien A, B und C Mengen. Zeigen Sie, dass gilt
(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) |
Meine Beweisführung ist folgenden:
"Es gilt: A [mm] \cup [/mm] B := { x | x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B}
Weiterhin gilt: A [mm] \cap [/mm] C := {x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C}
Betrachten wir (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C so lässt sich das auch als
{ x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B } [mm] \cap [/mm] C = { (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B ) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} definieren
Umgeformt:
{x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} [mm] \cup [/mm] {x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C}
Daraus folgt:
{x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} = A [mm] \cap [/mm] C
{x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} = B [mm] \cap [/mm] C
Das entspricht:
(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)"
Ist der Beweis formal und inhaltlich korrekt? Vermutlich nicht deswegen bin ich euch dankbar für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 05.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A, B und C Mengen. Zeigen Sie, dass gilt
>
> (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C = (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)
> Meine Beweisführung ist folgenden die Folgende:
>
>
> "Es gilt: [mm]A \cup B := \{ x | x \in A \vee x \in B\}[/mm]
>
> Weiterhin gilt: [mm]A \cap C := \{x \in A \wedge x \in C\}[/mm]
besser: $A [mm] \cap C=\{x:\;\; x \in A \wedge x \in C\}$ [/mm] - das solltest Du, besser, auch
unten so verwenden.
>
> Betrachten wir [mm](A \cup B) \cap C[/mm] so lässt sich das auch
> als
> [mm]\{ x \in A \red{\;\wedge\;}x \in B \} \cap C = \{ (x \in A \red{\wedge} x \in B ) \wedge x \in C\}[/mm] definieren auffassen (per Definitionem!)
Die roten [mm] $\wedge$ [/mm] sind falsch und gehören jeweils durch ein [mm] $\vee$ [/mm] ersetzt!
Weil das hier schon falsch ist, gestehe ich, dass ich keine Lust hatte, den
Rest auf Folgefehler zu untersuchen. Aber: So kannst Du das Ganze
natürlich angehen und dann auch sowas wie die Regel
$(R [mm] \vee S)\wedge [/mm] T [mm] \equiv [/mm] (R [mm] \wedge [/mm] T) [mm] \vee [/mm] (S [mm] \wedge [/mm] T)$
verwenden [mm] ($R,S,T\,$ [/mm] zweiwertige Aussagen!).
Generell ist aber empfehlenswert(er), dass man, wenn man eine Mengengleichheit
$X = [mm] Y\,$
[/mm]
beweisen soll, diese Aufgabe in zwei Teile zu zerlegen:
1.) Man zeigt $X [mm] \subseteq Y\,.$
[/mm]
2.) Man zeigt $Y [mm] \subseteq X\,.$
[/mm]
Grund: Bei den einzelnen Teilen behält man oft einfach besser den
Überblick - denn man braucht nicht unbedingt Folgerungen in zwei Richtungen
[mm] ($\iff$), [/mm] sondern es reicht, in eine zu folgern...
(Denn daraus folgt dann [mm] $X=Y\,;$ [/mm] genauer gesagt gilt sogar [mm] $X=Y\,$ [/mm] genau dann, wenn
sowohl $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ als auch $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt.)
Daher mein Ratschlag: Korrigiere erst nochmal den Beweis so, wie Du ihn
machen wolltest, und danach führe ihn, indem Du ihn "entsprechend den
zwei Teilmengenbeziehungen zerlegst".
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
Generell ist es sehr geschickt, wie dir Marcel gesagt hat, dies über Inklusionen zu zeigen.
Ich mache mal [mm] "\subseteq" [/mm] und überlasse dir den Fall : " [mm] \supseteq" [/mm]
Es soll nachstehende Behauptung gezeigt werden:
Behauptung 1:
[mm](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)[/mm]
Wir nehmen an x sei aus [mm](A \cup B) \cap C[/mm]
Sei x [mm] \in[/mm] [mm](A \cup B) \cap C[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) ,nun muss x aus C als auch aus (A [mm] \cup [/mm] B) sein. Somit ist zu unterscheiden
a) x [mm] \in [/mm] A oder
b) x [mm] \in [/mm] B
betrachtet sei: a) x [mm] \in [/mm] A somit : [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
b) natürlich analoge Argumentation was auf das Resultat [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) führt.
Somit folgt als Conclusio: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)
[mm] "\subseteq" [/mm] erledigt.
your turn ;)
Gruß
Thomas
Ps:
Man hätte es sicher ein wenig schöner ausführen können, dies sei dir überlassen :D
|
|
|
|
