Mengenlehre 8 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Gegeben seien die Mengen [tex]A, B[/tex]. Löse die Gleichung [tex]A \cup X = B[/tex]. |
8. [tex]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/tex]
Ich muss, aber noch zeigen, dass es die einzige Lösung für [tex]A \subseteq B[/tex] ist und dass es keine Lösung für [tex]A \not\subseteq B[/tex] gibt.
Ich beweise, dass mein [tex]X[/tex] tatsächlich die Gleichung löst: [tex]x \in A \cup X \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \Leftrightarrow B[/tex].
Ich beweise, dass das obige meine einzige Lösung ist: [tex](x \in A \vee x \notin B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \not \Leftrightarrow B[/tex].
Ich beweise, dass für [tex]A \not \subseteq B[/tex] keine Lösung gibt: Sei [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \notin B[/tex]. Aus der Definition der Vereinigung weiß ich, dass [tex]x \in B[/tex] also Wiederspruch.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 05.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> 8. [tex]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/tex]
> Ich muss,
> aber noch zeigen, dass es die einzige Lösung für
> [tex]A \subseteq B[/tex] ist und dass es keine Lösung für [tex]A \not\subseteq B[/tex]
> gibt.
Du meinst: Im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ lösen genau die Mengen X mit [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$ die Gleichung, im Falle [mm] $A\not\subseteq [/mm] B$ gibt es keine Lösung der Gleichung. Das stimmt!
> Ich beweise, dass mein [tex]X[/tex] tatsächlich die Gleichung löst:
Du beweist also, dass im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ JEDE Menge X mit [mm] $B\setminus [/mm] A [mm] \subseteq X\subseteq [/mm] B$ die Gleichung löst.
> [tex]x \in A \cup X \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \Leftrightarrow B[/tex].
Am Ende meinst du wohl [mm] $x\in [/mm] B$ statt B.
Ich kann deinem ersten Äquivalenzzeichen nicht folgen.
Am besten, du zeigst nacheinander [mm] $A\cup X\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\cup X\supseteq [/mm] B$. Etwa ersteres: Sei [mm] $x\in A\cup [/mm] X$. Dann ist [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] X$. Im ersteren Fall folgt [mm] $x\in [/mm] B$ wegen ..., im Falle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt [mm] $x\in [/mm] B$ wegen ... .
> Ich beweise, dass das obige meine einzige Lösung ist: [tex](x \in A \vee x \notin B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \not \Leftrightarrow B[/tex].
Im Falle $A=B$ stimmt das [mm] $\not\Leftrightarrow$ [/mm] nicht. Ich kann nicht folgen, was das mit dem Zu Zeigenden zu tun hat.
Sei X eine Lösung der Gleichung. Zu zeigen ist [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$. Zeige nacheinander die beiden Inklusionen (Teilmengenbeziehungen).
> Ich beweise, dass für [tex]A \not \subseteq B[/tex] keine Lösung
> gibt: Sei [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \notin B[/tex]. Aus der Definition der
> Vereinigung weiß ich, dass [tex]x \in B[/tex] also Wiederspruch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 Sa 06.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Hallo ne1,
>
>
> > 8. [tex]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/tex]
> > Ich
> muss,
> > aber noch zeigen, dass es die einzige Lösung für
> > [tex]A \subseteq B[/tex] ist und dass es keine Lösung für [tex]A \not\subseteq B[/tex]
> > gibt.
> Du meinst: Im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] lösen genau die Mengen X
> mit [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm] die Gleichung, im
> Falle [mm]A\not\subseteq B[/mm] gibt es keine Lösung der Gleichung.
> Das stimmt!
Ja, genau. Sorry. :D
Nochmal nur noch $A [mm] \subseteq [/mm] B$.
Ich muss zeigen:
1. $A [mm] \cup [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$
2. $B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] X $
1. $ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] X [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$
Beim ersten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutze ich die Tatsache, dass $B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$.
Beim zweiten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutze ich die Tatsache, dass $A [mm] \subseteq [/mm] B$.
2. $ x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] X$
Beim zweiten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutze ich die Tatsache, dass $B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$.
> Sei X eine Lösung der Gleichung. Zu zeigen ist [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
> Zeige nacheinander die beiden Inklusionen
> (Teilmengenbeziehungen).
Das habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ich weiß zwar, dass X eine Lösung ist, aber wie zeige ich, dass [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
Hier noch eine Idee $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] X [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X ... x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$. Ich kann also ein [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] setzen, wenn $ X = B$. Man sieht aber auch direkt, dass die Aussagen äquivalent sind, wenn $X = [mm] B\backslash [/mm] A $. Daraus folgt $B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Nochmal nur noch [mm]A \subseteq B[/mm].
> Ich muss zeigen:
> 1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
> 2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]
Ja, wenn $X$ eine Menge mit [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$ ist.
> 1. [mm]x \in A \cup X \Leftrightarrow x \in A \vee x \in X \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in B[/mm]
>
> Beim ersten [mm]\Rightarrow[/mm] nutze ich die Tatsache, dass [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm].
>
> Beim zweiten [mm]\Rightarrow[/mm] nutze ich die Tatsache, dass [mm]A \subseteq B[/mm].
> 2. [mm]x \in B \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in A \vee x \in X \Leftrightarrow x \in A \cup X[/mm]
>
> Beim zweiten [mm]\Rightarrow[/mm] nutze ich die Tatsache, dass [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm].
O.K.
> > Sei X eine Lösung der Gleichung. Zu zeigen ist [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
> > Zeige nacheinander die beiden Inklusionen
> > (Teilmengenbeziehungen).
>
> Das habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ich weiß zwar,
> dass X eine Lösung ist, aber wie zeige ich, dass
> [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
Zu [mm] $B\setminus A\subseteq [/mm] X$: Sei [mm] $x\in B\setminus [/mm] A$. Dann ist insbesondere [mm] $x\in [/mm] B$. Da [mm] $B=A\cup [/mm] X$ also [mm] $x\in A\cup [/mm] X$. Das heißt wiederum [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] X$. Wegen [mm] $x\in B\setminus [/mm] A$ gilt aber nicht [mm] $x\in [/mm] A$. Also bleibt nur [mm] $x\in [/mm] X$ übrig.
Versuche du nun nochmal [mm] $X\subseteq [/mm] B$. Vergiss dabei nicht zu benutzen, dass $X$ eine Lösung der Gleichung ist, also [mm] $A\cup [/mm] X=B$ erfüllt.
> Hier noch eine Idee [mm]x \in A \cup X \Leftrightarrow x \in A \vee x \in X ... x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B[/mm].
Naja, wenn $X$ eine Lösung ist, also [mm] $A\cup [/mm] X=B$ gilt dann ist natürlich [mm] $x\in A\cup X\gdw x\in [/mm] B$.
> Ich kann also ein [mm]\Leftrightarrow[/mm] setzen, wenn [mm]X = B[/mm]. Man
> sieht aber auch direkt, dass die Aussagen äquivalent sind,
> wenn [mm]X = B\backslash A [/mm]. Daraus folgt [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm].
Die letzte Schlussfolgerung stimmt nicht. Du überlegst vorher nur, dass $X=B$ und [mm] $X=B\setminus [/mm] A$ Lösungen der Gleichungen sind. Zu zeigen ist aber, dass JEDE Lösung $X$ der Gleichung bereits [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$ erfüllt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 12.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Zu [mm]B\setminus A\subseteq X[/mm]:
> Sei [mm]x\in B\setminus A[/mm]. Dann ist insbesondere [mm]x\in B[/mm]. Da
> [mm]B=A\cup X[/mm] also [mm]x\in A\cup X[/mm]. Das heißt wiederum [mm]x\in A[/mm]
> oder [mm]x\in X[/mm]. Wegen [mm]x\in B\setminus A[/mm] gilt aber nicht [mm]x\in A[/mm].
> Also bleibt nur [mm]x\in X[/mm] übrig.
>
> Versuche du nun nochmal [mm]X\subseteq B[/mm]. Vergiss dabei nicht
> zu benutzen, dass [mm]X[/mm] eine Lösung der Gleichung ist, also
> [mm]A\cup X=B[/mm] erfüllt.
Ich zeige $X [mm] \subseteq [/mm] B$.
$x [mm] \in [/mm] X$, ich weiß aber auch, dass $A [mm] \cup [/mm] X = B$ also liegt mein $x$ in $B$. Das heißt $X [mm] \subseteq [/mm] B$.
Musste ich also bei dieser Aufgabe eine Vermutung aufstellen ($B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$), sie beweisen (d.h. beide Inklusionen beweisen) und ggf. noch zeigen, dass $A [mm] \not \subseteq [/mm] B$ keine Lösung hat?
Das was ich vorher gemacht habe, war sozusagen nur eine Probe, oder?
>1. $ A [mm] \cup [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B $
>2. $ B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] X $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Fr 12.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Versuche du nun nochmal [mm]X\subseteq B[/mm]. Vergiss dabei nicht
> > zu benutzen, dass [mm]X[/mm] eine Lösung der Gleichung ist, also
> > [mm]A\cup X=B[/mm] erfüllt.
>
> Ich zeige [mm]X \subseteq B[/mm].
> [mm]x \in X[/mm], ich weiß aber auch,
> dass [mm]A \cup X = B[/mm] also liegt mein [mm]x[/mm] in [mm]B[/mm]. Das heißt [mm]X \subseteq B[/mm].
> Musste ich also bei dieser Aufgabe eine Vermutung
> aufstellen ([mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm]), sie
> beweisen (d.h. beide Inklusionen beweisen) und ggf. noch
> zeigen, dass [mm]A \not \subseteq B[/mm] keine Lösung hat?
Ja, all das war zu tun. Damit hast du in den beiden Fällen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\not\subseteq [/mm] B$ sozusagen jeweils gezeigt, dass du keine Lösung vergessen hast.
> Das was ich vorher gemacht habe, war sozusagen nur eine
> Probe, oder?
> >1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
> >2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]
Auch das gehörte zur Lösung der Aufgabe, um zu zeigen, dass du keine Lösung zu viel angegeben hast.
Nochmal anders erklärt:
Deine Behauptungen waren:
a) Im Falle [mm] $A\not\subseteq [/mm] B$ gibt es keine Lösung der Gleichung.
b) Im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt für jede Menge $X$: $X$ ist genau dann Lösung der Gleichung, wenn [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$.
Um b) zu zeigen, waren zwei Richtungen zu zeigen, die jeweils wiederum aus zwei zu zeigenden Teilmengenbeziehungen bestanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 13.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
> Nochmal anders erklärt:
>
> Deine Behauptungen waren:
> a) Im Falle [mm]A\not\subseteq B[/mm] gibt es keine Lösung der
> Gleichung.
> b) Im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] gilt für jede Menge [mm]X[/mm]: [mm]X[/mm] ist
> genau dann Lösung der Gleichung, wenn [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
>
> Um b) zu zeigen, waren zwei Richtungen zu zeigen, die
> jeweils wiederum aus zwei zu zeigenden
> Teilmengenbeziehungen bestanden.
a) ist klar, habe ich auch gezeigt.
b) Ich habe meine Vermutung aufgestellt. Dann habe ich sie mit
> > >1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
> > >2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]
bewiesen.
Die beiden Inklusionen $ B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B $ waren sozusagen um zu zeigen, dass mein $X$ tatsächlich eine Teilmenge von $B$ bzw. $B [mm] \backslash [/mm] A$ eine Teilmenge von $X$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Sa 13.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Deine Behauptungen waren:
> > a) Im Falle [mm]A\not\subseteq B[/mm] gibt es keine Lösung der
> > Gleichung.
> > b) Im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] gilt für jede Menge [mm]X[/mm]: [mm]X[/mm] ist
> > genau dann Lösung der Gleichung, wenn [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
>
> >
> > Um b) zu zeigen, waren zwei Richtungen zu zeigen, die
> > jeweils wiederum aus zwei zu zeigenden
> > Teilmengenbeziehungen bestanden.
>
> a) ist klar, habe ich auch gezeigt.
>
> b) Ich habe meine Vermutung aufgestellt. Dann habe ich sie
> mit
> > > >1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
> > > >2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]
>
> bewiesen.
Nein, damit hast du nur die Rückrichtung von b) gezeigt.
> Die beiden Inklusionen [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm]
> waren sozusagen um zu zeigen, dass mein [mm]X[/mm]
Mit "mein $X$" meinst du: "jedes $X$, das die Gleichung löst".
> tatsächlich eine
> Teilmenge von [mm]B[/mm] bzw. [mm]B \backslash A[/mm] eine Teilmenge von [mm]X[/mm].
Ja, das war die Hinrichtung von b).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 So 14.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Jetzt verstehe ich die Aufgabe komplett. Danke ;).
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