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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Ist das kartesische Produkt assoziativ? |
12. < <a,b> ,c> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \times [/mm] C
<a, <b,c> > [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C).
Laut der Definition von Kuratowski ist das kartesische Produkt nicht assoziativ.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 So 31.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo :),
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> Ist das kartesische Produkt assoziativ?
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> 12. < <a,b> ,c> [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\times[/mm] C [mm]\Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in[/mm]
> (A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\times[/mm] C
> <a, <b,c> > [mm]\in[/mm] A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) [mm]\Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in[/mm]
> A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C).
> Laut der Definition von Kuratowski ist das kartesische
> Produkt nicht assoziativ.
Die ersten Elemente aus der Menge [mm] $(A\times B)\times [/mm] C$ sind Elemente des kartesichen Produktes [mm] $A\times [/mm] B$, die zweiten Elemente sind Elemente aus der Menge C.
Dagegen ist bei [mm] $A\times(B\times [/mm] C)$ das erste Element aus A, das zweite Element aus [mm] $B\times [/mm] C$.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 31.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ist das kartesische Produkt assoziativ?
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> 12. < <a,b> ,c> [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\times[/mm] C [mm]\Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in[/mm]
> (A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\times[/mm] C
> <a, <b,c> > [mm]\in[/mm] A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) [mm]\Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in[/mm]
> A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C).
> Laut der Definition von Kuratowski ist das kartesische
> Produkt nicht assoziativ.
Begründet hast du Letzteres noch nicht.
Du willst zeigen, dass das kartesische Produkt nicht assoziativ ist, d.h. dass nicht für alle Mengen A, B und C gilt: [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$. Gib also konkrete Mengen A, B und C an, für die nicht [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$ gilt. (Z.B. für [mm] A=\emptyset [/mm] und beliebige Mengen $B$ und $C$ gilt sehr wohl [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$!) Um für die von dir gewählten Mengen A,B und C zu zeigen, dass nicht [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$ gilt, gib z.B. ein konkretes Element von [mm] $(A\times B)\times [/mm] C$ an und zeige, dass es nicht in [mm] $A\times(B\times [/mm] C)$ liegt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Ich versuche also noch einmal.
$ <a,b> = [mm] \{\{a\},\{a,b\}\} [/mm] $ das ist die Definition eines geordneten Paars von Kuratowski.
$ <<a,b>,c> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow \{\{\{\{a\},\{a,b\}\} \}, \{\{\{a\},\{a,b\}\} ,c\}\} \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C$
$ <a,<b,c>> [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\{\{b\},\{b,c\}\}\}\} \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$
Gegenbeispiel $ A = B = C = [mm] \{1\} [/mm] $. Das Element von $A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$ enthält das Element [mm] $\{1\}$. [/mm] Das Element von $(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C$ enthält dieses Element nicht also sind die Mengen nicht immer gleich.
Andere Variante
$<<a,b>,c> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] <a,b> [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] <b,c> [mm] \in [/mm] B [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] <a,<b,c>> [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$
Hier sind die Mengen assoziativ.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich versuche also noch einmal.
> [mm] = \{\{a\},\{a,b\}\}[/mm] das ist die Definition eines
> geordneten Paars von Kuratowski.
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> [mm]<,c> \in (A \times B) \times C \Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in (A \times B) \times C \Leftrightarrow \{\{\{\{a\},\{a,b\}\} \}, \{\{\{a\},\{a,b\}\} ,c\}\} \in (A \times B) \times C[/mm]
>
> [mm]> \in A \times (B \times C) \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in A \times (B \times C) \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\{\{b\},\{b,c\}\}\}\} \in A \times (B \times C)[/mm]
Respekt, dass du bei den vielen Klammern den Überblick behalten hast! 
Du meinst wohl [mm] $<,c>=\{\{\{\{a\},\{a,b\}\} \}, \{\{\{a\},\{a,b\}\} ,c\}\}$ [/mm] und [mm] $>=\{\{a\},\{a,\{\{b\},\{b,c\}\}\}\}$.
[/mm]
> Gegenbeispiel [mm]A = B = C = \{1\} [/mm]. Das Element von [mm]A \times (B \times C)[/mm]
> enthält das Element [mm]\{1\}[/mm]. Das Element von [mm](A \times B) \times C[/mm]
> enthält dieses Element nicht also sind die Mengen nicht
> immer gleich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Andere Variante
> [mm]<,c> \in (A \times B) \times C \Leftrightarrow \in A \times B \wedge c \in C \Leftrightarrow a \in A \wedge b \in B \wedge c \in C \Leftrightarrow a \in A \wedge (b \in B \wedge c \in C) \Leftrightarrow a \in A \wedge \in B \times C \Leftrightarrow > \in A \times (B \times C)[/mm]
>
> Hier sind die Mengen assoziativ.
Im Allgemeinen nein (das hast du ja oben bereits bewiesen). Zwar gilt in der Tat [mm] $<,c>\in (A\times B)\times C\gdw >\in A\times(B\times [/mm] C)$, aber für [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$ würdest du [mm] $x\in (A\times B)\times C\gdw x\in A\times(B\times [/mm] C)$ benötigen.
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