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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | Es seien [mm] $a,c\in \IR$ [/mm] und [mm] $c\not=0$. [/mm] Es sei $Z [mm] \subset \IR$ [/mm] und [mm] $Z^c [/mm] := [mm] \IR \backslash [/mm] Z$
Es sei
$a+Z := Z+a [mm] :=\{x+a : x \in Z \}$
[/mm]
$cZ [mm] :=\{cx : x \in Z \}$
[/mm]
Weisen Sie nach, dass [mm] \forall [/mm] Teilmengen A und Z von [mm] \IR [/mm] gilt
a) [mm] $a+(A\cap [/mm] Z) = [mm] (a+A)\cap(a+Z)$
[/mm]
b) c (A [mm] \cap [/mm] Z) = (cA) [mm] \cap [/mm] (cZ) |
hallo kann mir dabei noch jemand bitte helfen
mit trixen komme ich auf den Ansatz, dabei ist mir nicht klar ob die Schritte überhaupt gelten und würde mich freuen, wenn jemand sagt wieso die gelten
a)
[mm] $(a+A)\cap(a+Z)= (a+A)\cap(a+Z) [/mm] = [mm] \{ y+a : y \in A\} \cap \{x+a : x \in Z\}$
[/mm]
$= [mm] \{(y+a)\cap (x+a):y\in A, x \in Z\}$
[/mm]
[mm] $=\{a+(y\cap x) : y \in A, x \in Z \}$
[/mm]
Warum kann ich hier das a ausklammern? Sind das die Regeln vom Morgan?
$= a + [mm] (A\cap [/mm] Z)$
b)
$c (A [mm] \cap [/mm] Z) $
[mm] $=\{c(y\cap x) : y\in A, x \in Z\}$
[/mm]
[mm] $=\{(cy\cap cx) : y\in A, x\in Z\}$
[/mm]
Warum kann ich das c darein multiplizieren? Wieder Morgan-Regel?
$= [mm] (cA)\cap [/mm] (cZ)$
Ist das in ordnung so?
Danke im Voraus
Savoyen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 So 25.11.2007 | | Autor: | komduck |
Du kannst die Operation Schneiden nicht auf reele Zahlen anwenden.
Um zu zeigen, dass zwei Mengen gleich sind, ist es meistens am besten
die Aussagen für die Elemente zu bilden.
Wenn du zeigen willst: X = Y [mm] \cap [/mm] Z
dann nimmst du dir ein x aus X und zeigst, dass dieses x sowohl in Y als auch in Z liegt.
dann nimmst du dir ein x das sowohl in Y als auch in Z liegt und zeigst das es in X liegt.
wenn du zeigen willst, dass ein Element a in einer Menge der Form
{ f(x) : x [mm] \n [/mm] M} liegt, dann mußt du die Existenz eines b [mm] \in [/mm] M zeigen mit
a = f(b)
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 25.11.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | Es seien $ [mm] a,c\in \IR [/mm] $ und $ [mm] c\not=0 [/mm] $. Es sei $ Z [mm] \subset \IR [/mm] $ und $ [mm] Z^c [/mm] := [mm] \IR \backslash [/mm] Z $
Es sei
$ a+Z := Z+a [mm] :=\{x+a : x \in Z \} [/mm] $
$ cZ [mm] :=\{cx : x \in Z \} [/mm] $
Weisen Sie nach, dass $ [mm] \forall [/mm] $ Teilmengen A und Z von $ [mm] \IR [/mm] $ gilt
a) $ [mm] a+(A\cap [/mm] Z) = [mm] (a+A)\cap(a+Z) [/mm] $
b) c (A $ [mm] \cap [/mm] $ Z) = (cA) $ [mm] \cap [/mm] $ (cZ) |
Hallo.
> Um zu zeigen, dass zwei Mengen gleich sind, ist es
> meistens am besten
> die Aussagen für die Elemente zu bilden.
> Wenn du zeigen willst: X = Y [mm]\cap[/mm] Z
> dann nimmst du dir ein x aus X und zeigst, dass dieses x
> sowohl in Y als auch in Z liegt.
> dann nimmst du dir ein x das sowohl in Y als auch in Z
> liegt und zeigst das es in X liegt.
>
> wenn du zeigen willst, dass ein Element a in einer Menge
> der Form
> f(x) : x [mm]\n[/mm] M liegt, dann mußt du die Existenz eines b
> [mm]\in[/mm] M zeigen mit
> a = f(b)
Kannst du mir da mal den Anfang machen, ich verstehe das nicht, wie das in Formeln aussehen soll.
Savoyen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 25.11.2007 | | Autor: | komduck |
Wir wollen zeigen:
$ [mm] a+(A\cap [/mm] Z) = [mm] (a+A)\cap(a+Z) [/mm] $
Wir zeigen zunächst:
$ [mm] a+(A\cap [/mm] Z) [mm] \subseteq (a+A)\cap(a+Z) [/mm] $
Wir nehmen ein Element x aus der linken Menge und zeigen es liegt in der rechten:
Es sei also x [mm] \in a+(A\cap [/mm] Z)
weil x [mm] \in [/mm] a+(A [mm] \cap [/mm] Z) folgt es gibt ein y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] Z) mit x = a + y
weil y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] Z) folgt y [mm] \in [/mm] A also liegt x in a + A
weil y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] Z) folgt y [mm] \in [/mm] Z also liegt x in a + Z
also liegt x in (a+A) [mm] \cap [/mm] (a+Z)
die andren Fälle gehen ähnlich.
komduck
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