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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 21.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo zusammen! Soll eine einfache Mengengleichheit nachweisen!
Die Aufgabe lautet:
C \ (A [mm] \cap [/mm] B) = (C \ A) [mm] \cup [/mm] (C \ B)
Beweis:
Sei c [mm] \in [/mm] C \ (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] c [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] ( c [mm] \not\in [/mm] A ) oder ( c [mm] \not\in [/mm] B )
[mm] \gdw [/mm] c [mm] \in [/mm] C \ A oder c [mm] \in [/mm] C \ B
[mm] \gdw [/mm] c [mm] \in [/mm] C \ A [mm] \cup [/mm] c [mm] \in [/mm] C \ B
Ist das so korrekt? hab mir das auch aufgezeichnet und es scheint ok zu sein! Wollte nur sicher gehen!
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 21.10.2007 | | Autor: | jno |
Hi!
Der Beweisschritt scheint mir ganz gut auszusehen, aber ich glaube, du bist noch nicht fertig! Wenn du Mengengleichheit
von 2 Mengen $A$ und $B$ beweisen willst, geht das normalerweise in 2 Schritten:
1.) [mm] $A\subseteq [/mm] B$
2.) [mm] $A\supseteq [/mm] B$
Du hast jetzt gezeigt, dass ein beliebiges Element $c [mm] \in C\setminus\left(A\cap B\right)$ [/mm] in der Menge [mm] $\left(C\setminus A\right)\cup\left(C\setminus B\right)$ [/mm] enthalten ist. Genau so musst du auf dem umgekehrten Weg
[mm] $C\setminus\left(A\cap B\right)\supseteq\left(C\setminus A\right)\cup\left(C\setminus B\right)$ [/mm] zeigen.
Gruß Jens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 21.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Jens! Danke für die schnelle Antwort! Ich hab irgendwie ein Problem da ich die Aufgabe noch einmal gemacht habe und ich ich habe jetzt was anderes raus und zwar lautet der Beweis jetzt!
c [mm] \in [/mm] C \ A [mm] \cap [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] c [mm] \in [/mm] C und ( c [mm] \in [/mm] A \ B oder c [mm] \in [/mm] B \ A )
[mm] \gdw [/mm] ( c [mm] \in [/mm] C und c [mm] \in [/mm] A \ B ) oder (c [mm] \in [/mm] C und c [mm] \in [/mm] B \ A )
[mm] \gdw [/mm] ( c [mm] \in [/mm] C \ B ) oder ( c [mm] \in [/mm] C \ A )
[mm] \gdw [/mm] ( c [mm] \in [/mm] C \ B ) [mm] \cup [/mm] ( c [mm] \in [/mm] C \ A )
Jetzt weiss ich nicht weiter welches von beiden richtig ist mir scheinen beide logisch zu sein. HILFE!!!!
Gruß
David
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> c [mm]\in[/mm] C \ A [mm]\cap[/mm] B
> [mm]\gdw[/mm] c [mm]\in[/mm] C und ( c [mm]\in[/mm] A \ B oder c [mm]\in[/mm] B \ A )
Hallo,
ich kann diesem Schritt nicht folgen.
Wie begründest Du ihn?
Du mußt bei solchen Beweisen streng nach Definition vorgehen, und jeden Schritt mit einer Definition oder einem bereits durchgenommenen Satz begründen.
Hier würde ich es wie folgt machen:
Sei
> c [mm]\in[/mm] C \ (A [mm]\cap[/mm] B)
==> [mm] c\in [/mm] C und [mm] c\not\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] B nach Def. von [mm] \
[/mm]
==> usw.
---
Im Prinzip ist das der Plan, den Du mit Deinem Beweis im Eingangspost verfolgst.
Allerdings setzt Du dort sehr unbedacht Äquivalenzpfeile, z.B. hier:
>>> Sei c $ [mm] \in [/mm] $ C \ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \gdw [/mm] $ c $ [mm] \not\in [/mm] $ A $ [mm] \cap [/mm] $ B
Das stimmst so nicht!
Es muß heißen
Sei c $ [mm] \in [/mm] $ C \ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $
<==>
[mm] c\in [/mm] C und [mm] c\not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Oder:
Sei c $ [mm] \in [/mm] $ C \ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $
==>
[mm] c\not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Richtig wäre auch.
Sei c $ [mm] \in [/mm] $ C \ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $
==>
[mm] c\in [/mm] C und [mm] c\not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Unter diesem Gesichtspunkt mußt Du Deinen Beweis überarbeiten. Und für alles, was Du tust, brauchst Du eine Begründung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 21.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Angela! Ja du hast recht ich hab mir mehr Gedanken zu den Mengen gemacht anstatt zu den Äquivalenzpfeilen. Werde an jetzt hier bedachter vorgehen. Dank dir!
Also hier zu
c [mm] \in [/mm] C und ( c [mm] \in [/mm] A \ B oder c [mm] \in [/mm] B \ A ) hab ich mir folgendes gedacht:
habe die Mengen A und B aufgezeichnet und gesehen das der schnitt der beiden Mengen das Element c nicht enthält. Da A [mm] \subset [/mm] C und B [mm] \subset [/mm] C ist umfasst die Menge c die Megen A und B. Doch das Element c kann doch in A \ B liegen genau wie das Element in B \ A liegen kann. Oder irre ich mich da? Habs aufgezeichnet und gesehen das c nur in dem Schnitt con A und B nicht liegen darf....So war meine Begründung vielleicht ist sie auch falsch...Könnte ich den dann mein ersten Beweis so nehmen den ich gepostet habe nur das ich mir zusätlich zu den Äquivalnzpfeilen gedanken mache?
Viele Grüße
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> Also hier zu
>
> c [mm]\in[/mm] C und ( c [mm]\in[/mm] A \ B oder c [mm]\in[/mm] B \ A ) hab ich mir
> folgendes gedacht:
>
> habe die Mengen A und B aufgezeichnet und gesehen
Hallo,
Dein Vorgehen ist in Ordnung und gut - um Dir selbst den Sachverhalt zu veranschaulichen und Dich auf Beweisideen zu bringen.
Im Beweis, den Du aufschreibst, darfst Du aber nicht einfach Schritte überspringen.
Deine Aussage stimmt ja, aber sie ist für den Leser nicht nachvollziehbar.
> das der
> schnitt der beiden Mengen das Element c nicht enthält.
Genau: [mm] c\in [/mm] C \ [mm] (A\cap [/mm] B)
==> c [mm] \in [/mm] C und [mm] c\not\in A\cap [/mm] B womit wir wieder beim ersten Beweis wären...
> Da A
> [mm]\subset[/mm] C
Das stimmt definitiv nicht. Nirgendwo ist vorausgesetzt, daß das gilt.
> Könnte ich den
> dann mein ersten Beweis so nehmen den ich gepostet habe nur
> das ich mir zusätlich zu den Äquivalnzpfeilen gedanken
> mache?
Wie gesagt: überarbeite ihn geringfügig und begründe jeden Schritt.
Gedanklich ist er absolut in Ordnung, Du mußt es jetzt nur so aufschreiben, daß auf dem Papier wirklich das landet, was Du meinst.
Kannst's nach vollendeter Tat ja nochmal posten.
Gruß . Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 21.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
So habs nochmal überarbeitet:
Die korrekte Aufgabenstellung lautete:
Sei C eine Menge. Beweisen: Für zwei Teilmengen A [mm] \subset [/mm] C und B [mm] \subset [/mm] C gilt:
C \ (A [mm] \cap [/mm] B ) = (C \ A) [mm] \cup [/mm] (C \ B)
Jetzt hab ich:
Sei c [mm] \in [/mm] C gegeben.
Dann gilt:
c [mm] \in [/mm] C \ A [mm] \cap [/mm] B
[mm] \gdw [/mm] c [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B (dies ist die Def. des Komplements deshalb das Äquivalenzzeichen)
[mm] \gdw [/mm] ( c [mm] \not\in [/mm] A ) oder ( c [mm] \not\in [/mm] B )
[mm] \gdw [/mm] c [mm] \in [/mm] C \ A oder c [mm] \in [/mm] C \ B (da ja c [mm] \in [/mm] C gesetzt wurde)
[mm] \gdw [/mm] c [mm] \in [/mm] C \ A [mm] \cup [/mm] C \ B
so ich hoffe ich kann das jetzt so stehen lassen ;) hab dies auch übrigens in der Literatur unter den de morgan´schen Gesetzen gefunden....
Gruß
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> So habs nochmal überarbeitet:
>
> Die korrekte Aufgabenstellung lautete:
> Sei C eine Menge. Beweisen: Für zwei Teilmengen A [mm]\subset[/mm]
> C und B [mm]\subset[/mm] C gilt:
>
> C \ (A [mm]\cap[/mm] B ) = (C \ A) [mm]\cup[/mm] (C \ B)
>
> Jetzt hab ich:
> Sei c [mm]\in[/mm] C gegeben.
>
> Dann gilt:
>
> c [mm]\in[/mm] C \ A [mm]\cap[/mm] B
> [mm]\gdw[/mm] c [mm]\not\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B (dies ist die Def. des Komplements
> deshalb das Äquivalenzzeichen)
> [mm]\gdw[/mm] ( c [mm]\not\in[/mm] A ) oder ( c [mm]\not\in[/mm] B )
> [mm]\gdw[/mm] c [mm]\in[/mm] C \ A oder c [mm]\in[/mm] C \ B (da ja c [mm]\in[/mm] C gesetzt
> wurde)
> [mm]\gdw[/mm] c [mm]\in[/mm] C \ A [mm]\cup[/mm] C \ B
>
> so ich hoffe ich kann das jetzt so stehen lassen ;) hab
> dies auch übrigens in der Literatur unter den de
> morgan´schen Gesetzen gefunden....
Ja, so heißt das.
Ich selbst würde immer das [mm] "c\in [/mm] C" mitnehmen, obgleich es hier in Anbetracht der Voraussetzung A [mm]\subset[/mm] C und B [mm]\subset[/mm] C wohl nicht unbedingt notwendig ist.
Wenn Du die Aussage ohne diese vorausgesetzte Teilmengenbeziehungzeigen wolltest, wäre es aber unbedingt nötig, das [mm] c\in [/mm] C mitzunehmen.
Gruß v. Angela
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