Mengen von Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Sa 29.01.2005 | | Autor: | conny |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Ihr!
Ich habe folgende Aufgabe, wo ich offensichtlich einige Probleme habe.
Gegeben seien die folgenden Mengen von Vektoren im R4:
M =
[mm] \{ \vektor{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}, \vektor{1 \\ 2 \\ 5 \\ -3} \}
[/mm]
und N=
[mm] \{ \vektor{2 \\ 2 \\ 11 \\ 4}, \vektor{-1 \\ -3 \\ 2 \\ 2} \}
[/mm]
Seien U = Lin(M) und V = Lin(N).
Wir sollen nun eine Basis von U ∩ V und eine Basis B [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \cup [/mm] N von Lin(U [mm] \cup [/mm] V ) berechnen.
Also die Lineare Hülle von U , V sind erst mal:
[mm] U=\vektor{2r+1s \\ 3r+2s \\ 4r+5s \\ 5r-3s} [/mm] mit r,s [mm] \in [/mm] M
[mm] V=\vektor{2w-1v \\ 2w-3v \\ 11w+2v \\ 4w+2v} [/mm] mit w,v [mm] \in [/mm] N
Ich hab leider danach schon meine Probleme.
Ich weiß das die Basis schon mal 4-elementig sein muss und ich dafür linear unabhängige Vektoren der Mengen brauch. Aber diese unabhängigen rauszufinden ist für mich schon ein Problem und dann sind diese Basen noch von der Linearen Hülle und noch von der Durchschnittsmenge der 2 Hüllen.
Haben diese überhaut gemeinsame Vektoren? Und dann eben die linear unabhängigen.
Auch bei der nächsten Aufgabe habe ich Probleme:
Da seh ich überhaupt nicht mehr durch. Erst mal muss man ja die Lineare Hülle von der Vereinigung von U und V bekommen. Da muss ja nureinzelnen Elemente von ihnen zusammen nehmen.
Aber dann wieder die unabhänigen Vektoren zu finden, die aber auh Teilmenge von [mm] M\cup [/mm] N
Naja ich hoffe mir kann jemand helfen.
Schon mal danke fürs Bemühen, Conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 So 30.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Conny!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich weiß das die Basis schon mal 4-elementig sein muss und ich dafür linear unabhängige Vektoren der Mengen brauch. Aber diese unabhängigen rauszufinden ist für mich schon ein Problem und dann sind diese Basen noch von der Linearen Hülle und noch von der Durchschnittsmenge der 2 Hüllen.
> Haben diese überhaut gemeinsame Vektoren? Und dann eben die linear unabhängigen.
Du hast schon eine gute Vorarbeit geleistet, mit der dieses Problem nicht mehr so schwierig ist. Du weißt, dass jeder Vektor in $U$ die Form [mm] $\vektor{2r+1s \\ 3r+2s \\ 4r+5s \\ 5r-3s} [/mm] $ mit geeigneten [mm] $r,s\in \IR$ [/mm] hat. Analog dazu hat jeder Vektor aus $V$ die Form [mm] $\vektor{2w-1v \\ 2w-3v \\ 11w+2v \\ 4w+2v} [/mm] $, abermals mit geeigneten [mm] $w,v\in \IR$. [/mm] Wenn ein Vektor in $U$ und in $V$ liegen soll, also in deren Schnittmenge, muss es [mm] $r,s,w,v\in \IR$ [/mm] mit [mm] $\vektor{2r+1s \\ 3r+2s \\ 4r+5s \\ 5r-3s}=\vektor{2w-1v \\ 2w-3v \\ 11w+2v \\ 4w+2v}$ [/mm] geben. Das formen wir nun um:
[mm] $\vektor{2r+1s \\ 3r+2s \\ 4r+5s \\ 5r-3s}=\vektor{2w-1v \\ 2w-3v \\ 11w+2v \\ 4w+2v}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vektor{2r+s-2w+v\\ 3r+2s-2w+3v\\ 4r+5s-11w-2v\\ 5r-3s-4w-2v}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \pmat{2 & 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & 3 \\ 4 & 5 & -11 & -2\\ 5 & -3 & -4 & -2}\vektor{r\\ s\\ w\\ v}=0$
[/mm]
Dies ist ein homogenes, lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum und - worauf es ja ankommt - die Basis des Lösungsraumes du bestimmen können solltest.
Versuch's einfach mal!
Liebe Grüße,
Hanno
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