Mengen in der komplexen Ebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Arakx |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Menge in der komplexen Ebene:
A={ z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] |z+2i|>|2z+\overline{2}| [/mm] } |
Salut. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Und dann komme ich auch schon zur Sache:
Laut Aufgabe muss ich ja nun die Mengen berechnen und diese dann in die komplexe Ebene einzeichnen (Einheitskreis?).
wäre:
[mm] |z+2i|>|2z+\overline{2}|
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{a^{2}+(2+b)^{2}} [/mm] > [mm] \wurzel{9a^{2}+b^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw a^{2}+(2+b)^{2} [/mm] > [mm] 9a^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 4 > [mm] 8a^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] > a
Und jetzt weis ich nicht weiter. Habe ich mich verrechnet? Wie soll ich das ganze nun skizzieren? /edit: Einfach ein Koordinatensystem nehmen und den Einheitskreis um [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] auf der x-kkordiante verschieben? Bin da immo hoffnungslos überfragt.
mfg Arakx
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arakx,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zum einen ist mir unklar, worauf sich der Strich im rechten Betrag bezieht. Wovon soll denn genau das Konjugierte genommen werden?
Von daher kann ich auch Deinen Ansatz für den rechten Betrag nicht nachvollziehen.
Wenn Dein Ergebnis mit $a \ > \ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}$ [/mm] richtig wäre, müsstest Du in der Gauß'schen Zahlenebene bei [mm] $\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.707$ der reellen Achse eine senkrechte Gerade einzeichnen. Die Lösungsmenge wäre dann die rechte Halbebene. Es muss also nicht immer etwas mit dem Einheitskreis herauskommen.
Aber nun bitte mal die korrekte Aufgabenstellung posten.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Arakx |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Menge in der komplexen Ebene:
A={ z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] |z+2i|>|2z+\overline{z}| [/mm] }
|
sorry, hatte mich vertippt, ist mir nicht aufgefallen.
Die richtige Aufgabenstellung wäre dann: A={ z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] |z+2i|>|2z+\overline{z}| [/mm] }
Wäre mein Ergebnis also richtig ( [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] > a ) , wäre der Realteil [mm] Re(z)>\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] demnach der rechte Halbteil der Gauß'schen Zahlenebene? Der Imaginärteil kürzt sich beim ausrechnen weg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arakx!
So macht es langsam Sinn ... und wenn $a \ > \ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}$ [/mm] richtig wäre, würde Deine Beschreibung stimmen.
Allerdings hast Du in Deiner Rechnung den Term [mm] $(2+b)^2$ [/mm] falsch aufgelöst.
Es gilt je gemäß binomischer Formel: [mm] $(2+b)^2 [/mm] \ = \ 4 \ [mm] \red{+ \ 4*b} [/mm] \ [mm] +b^2$ [/mm] !
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Arakx |
Ok, vielen dank für die Hilfe. Jetzt sieht das ganze schon besser aus.
Komme nun auf ein Ergebnis von [mm] -2a^{2}+b>-1. [/mm] Eigentlich würde sich ja jetzt die PQ-Formel anbieten, denke aber nicht, dass das richtig wäre, denn dann würde ja das a, also der Realteil wegfallen (a wäre 1, somit b>0), und das Ergebnis wäre Im(z)>0, oder?
Wenn ich mir das so anschaue, sollte das ganze auf eine Form von z=a+bi kommen. Oder kann man das ganze so wie es ist in die Gauß'sche Zahlenebene einfügen, womit, sollte ich bei der Berechnung richtig liegen, es so aussehen würde:
Koordinate: (-2,1)
das ganze um -1 auf der x-achse verschoben.
Somit wäre der gesuchte Punkt (-3,1).
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Arakx!
> Ok, vielen dank für die Hilfe. Jetzt sieht das ganze schon
> besser aus.
>
> Komme nun auf ein Ergebnis von [mm]-2a^{2}+b>-1.[/mm] Eigentlich
> würde sich ja jetzt die PQ-Formel anbieten, denke aber
> nicht, dass das richtig wäre, denn dann würde ja das a,
> also der Realteil wegfallen (a wäre 1, somit b>0), und das
> Ergebnis wäre Im(z)>0, oder?
Ich würde aus dieser Ungleichung erst einmal ein paar Bedingungen an a und b ableiten.
Zunächst siehst du, dass die Menge symmetrisch zur imaginären Achse sein muss.
Dann ist wegen [mm]a^2\ge 0[/mm] auch [mm]1+b>2a^2\ge 0[/mm], woraus [mm]b>-1[/mm] folgt, die Menge ist also durch die Gerade [mm]z=-i[/mm] nach unten begrenzt. Nach oben ist b nicht begrenzt.
Schließlich kannst du die Begrenzungskurve der Menge schreiben als [mm]b=2a^2-1[/mm], und dass ist eine Parabel in der komplexen Ebene, mit Scheitelpunkt [mm]-i[/mm]. Deine gesuchte Menge ist das Innere der Parabel.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 15.11.2007 | | Autor: | Arakx |
Soweit wie ich es verstanden habe, wird ein z [mm] \in \IC [/mm] in der komplexen Ebene auf einem Kreis dargestellt, bitte korrigiert mich, wenn ich mich irre.
Noch mal zu meiner Rechnung. Ich schnalls echt nicht. Habe das ganze nocheinmal ausgerechnet:
A = { [mm] z\in\IC [/mm] | [mm] |z+2i|>|2z+\overline{z}| [/mm] }
[mm] |z+2i|>|2z+\overline{z}|
[/mm]
[mm] \gdw|a+bi+2i|>|2(a+bi)+(a-bi)|
[/mm]
[mm] \gdw|a+bi+2i|>|3a+bi|
[/mm]
[mm] \rightarrow \wurzel{a^{2}+(b+2)^{2}}>\wurzel{9a^{2}+b^{2}}
[/mm]
quadrieren
[mm] \gdw a^{2}+(b+2)^{2}>9a^{2}+b^{2}
[/mm]
zusammenfassen
[mm] \gdw b^{2}+4b+4>8a^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 0>8a^{2}+4b+4
[/mm]
*0.25
[mm] \gdw 0>2a^{2}+b+1
[/mm]
Wenn das mit der Parabel stimmt, dann wäre diese ja nach oben geöffnet (0>...)? und auf der y-achse um 1 nach oben verschoben.
Stimmt das soweit?
Noch eine Frage:
Wenn [mm] Re(\bruch{1}{z})\ge1, [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] \ {0} ist, wie sieht dann die skizze aus? ist das eine gerade auf der x-achse auf dem intervall [mm] [1,\infty)?
[/mm]
grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Arakx,
> Soweit wie ich es verstanden habe, wird ein z [mm]\in \IC[/mm] in
> der komplexen Ebene auf einem Kreis dargestellt, bitte
> korrigiert mich, wenn ich mich irre.
>
> Noch mal zu meiner Rechnung. Ich schnalls echt nicht. Habe
> das ganze nocheinmal ausgerechnet:
>
> A = [mm] \{z\in\IC | |z+2i|>|2z+\overline{z}|\}
[/mm]
>
> [mm]|z+2i|>|2z+\overline{z}|[/mm]
> [mm]\gdw|a+bi+2i|>|2(a+bi)+(a-bi)|[/mm]
> [mm]\gdw|a+bi+2i|>|3a+bi|[/mm]
> [mm]\rightarrow \wurzel{a^{2}+(b+2)^{2}}>\wurzel{9a^{2}+b^{2}}[/mm]
>
> quadrieren
> [mm]\red{\Rightarrow} a^{2}+(b+2)^{2}>9a^{2}+b^{2}[/mm]
> zusammenfassen
> [mm]\gdw b^{2}+4b+4>8a^{2}+b^{2}[/mm]
> [mm]\gdw 0>8a^{2}+4b+4[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\gdw 0>8a^2\red{-}4b\red{-}4$
[/mm]
> *0.25
> [mm]\gdw 0>2a^{2}\red{-}b\red{-}1[/mm]
Also [mm] $b>2a^2-1$
[/mm]
>
> Wenn das mit der Parabel stimmt, dann wäre diese ja nach
> oben geöffnet (0>...)? und auf der y-achse um 1 nach oben [mm] \red{unten} [/mm] verschoben.
bzw. alles darüber, also die Fläche, die von den Parabelästen eingeschlossen wird ohne die Äste selbst
> Stimmt das soweit?
Bis auf den kleinen VZF ja !!
> Noch eine Frage:
>
> Wenn [mm]Re(\bruch{1}{z})\ge1,[/mm] z [mm]\in \IC[/mm] \ {0} ist, wie sieht
> dann die skizze aus? ist das eine gerade auf der x-achse
> auf dem intervall [mm][1,\infty)?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, wenn du wieder $z=a+bi$ setzt, dann ist doch $\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{\blue{a-bi}}{(a+bi)\blue{(a-bi)}}=\frac{a-bi}{a^2+b^2$
Also $Re\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{a}{a^2+b^2}$
Das soll nun \ge 1 sein
Rechne nochmal nach...
LG
schachuzipus
>
> grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 15.11.2007 | | Autor: | Arakx |
Danke für die Hilfe.
Bei [mm] Re(\bruch{1}{z})\ge1 [/mm] wäre das demnach [mm] b\ge a-\wurzel{a}, [/mm] also eine gerade. Die Menge ist dann alles oberhalb dieser, wenn ich es richtig verstaden habe.
Nochmal die Frage: Es ist also richtig, dass eine Menge der komplexen Zahlen nicht immer durch einen kreis dargestellt wird?
Grüße, Arakx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Do 15.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bei [mm]Re(\bruch{1}{z})\ge1[/mm] wäre das demnach [mm]b\ge a-\wurzel{a},[/mm]
> also eine gerade. Die Menge ist dann alles oberhalb dieser,
> wenn ich es richtig verstaden habe.
1. Deine Rechnung oben ist schrecklich!!
[mm] $\wurzel{a+b} \ne \wurzel{a}+\wurzel{b}$ [/mm] !!!!!
wenn du z=x+iy schreibst statt a+ib erinnert dich das vielleicht besser an die Schule.
dann hast du [mm] y^2
form das mit quadr. Ergänzung um zu [mm] y^2-(x-x_M)^2=a^2 [/mm] und du solltest sehen, was das geometrisch ist!
Aber auch dein falsches [mm]b\ge a-\wurzel{a}[/mm] wäre ja keine Gerade!
[mm] y=x+\wurzel{x} [/mm] ist doch keine Gerade!!
Zu Deiner Frage:
eine komplexe Zahl ist ein Punkt in der komplexen Ebene.
Ihr Betrag ist der Abstand vom Nullpunkt. Deshalb liegen alle komplexen Zahlen mit dem gleichen Betrag auf einem Kreis.
also |z|=4 ist die Menge der komplexen Zahlen, die auf dem Kreis mit dem Radius 4 liegen. mit z=x+iy auch [mm] x^2+y^2=16
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
