Mengen für A und B < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Mo 12.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
| Aufgabe | Man zeige oder widerlege folgende Aussage:
1) Für alle Mengen A und B gilt: P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) [mm] \subseteq [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B). |
Hallo Freunde. Zunächst einmal vielen Dank für die Hilfe bei meinem letzten Post. Aufgaben hören nie auf und das Selbige gilt derer Bearbeitung.
Ich beschäftige mich gerade mit Aufgaben folgendem Musters: Für alle Mengen A und B gilt: .... . Tipps und Anmerkungen bezüglich meiner Lösung wären sehr hilfreich.
Meine Idee:
Diese Aussage ist wahr.
Beweis. Man setze für P(A)= {1,2} und für P(B)= {2,3}. Aus diesen Werten folgt dann für die Vereinigung von P( A [mm] \cup [/mm] B)= ({{1,2}, {2,3}}). Es ist evident, dass die Mengen P(A) und P(B) Teilmengen von P( A [mm] \cup [/mm] B) sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Mo 12.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Man zeige oder widerlege folgende Aussage:
>
> 1) Für alle Mengen A und B gilt: P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) [mm]\subseteq[/mm]
> P(A [mm]\cup[/mm] B).
> Hallo Freunde. Zunächst einmal vielen Dank für die Hilfe
> bei meinem letzten Post. Aufgaben hören nie auf und das
> Selbige gilt derer Bearbeitung.
> Ich beschäftige mich gerade mit Aufgaben folgendem
> Musters: Für alle Mengen A und B gilt: .... . Tipps und
> Anmerkungen bezüglich meiner Lösung wären sehr
> hilfreich.
>
> Meine Idee:
>
> Diese Aussage ist wahr.
Das ist korrekt.
> Beweis. Man setze für P(A)= {1,2} und für P(B)= {2,3}.
> Aus diesen Werten folgt dann für die Vereinigung von P( A
> [mm]\cup[/mm] B)= ({{1,2}, {2,3}}). Es ist evident, dass die Mengen
> P(A) und P(B) Teilmengen von P( A [mm]\cup[/mm] B) sind.
Beweis durch Beispiel ist aber keine geeignete Beweismethode. Das funktioniert nur, um eine Aussage zu widerlegen.
Ich nehme mal an, P(X) ist die Potenzmenge. In P(X) liegen nun alle mögliche Teilmengen, aber auch die Menge selber, also:
[mm] P(X)=\{\emptyset,\ldots,X\}
[/mm]
Fang mal wie folgt an:
[mm] $x\in P(A\cup [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow x\in\{\emptyset;\ldots A, B\ldots (A\cup B)\}$
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:21 Mo 12.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Um eine Inklusion zu beweisen soll man sich ein x [mm] \in [/mm] N nehmen und dann argumentieren, dass x auch in M drin ist. Du fängst aber mit x [mm] \in [/mm] M an bei N [mm] \subseteq [/mm] M. Gibt es dafür bestimmte Gründe?
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> Um eine Inklusion zu beweisen soll man sich ein x [mm]\in[/mm] N
> nehmen und dann argumentieren, dass x auch in M drin ist.
Hallo,
ja.
> Du fängst aber mit x [mm]\in[/mm] M an bei N [mm]\subseteq[/mm] M. Gibt es
> dafür bestimmte Gründe?
Es ist ein Fehler.
Übrigens ist auch der nächste Schritt, in welchem die Elemente von [mm] P(A\cup [/mm] B) mit Pünktchen in Mengenklammern aufgezählt werden, keiner, den man offiziell irgendwo schreiben sollte.
Beginne so:
[mm] x\in P(A)\cup [/mm] P(B)
==> [mm] x\in... [/mm] oder [mm] x\in [/mm] ...
==> [mm] x\subseteq... [/mm] oder [mm] x\subseteq [/mm] ...
==> ... ... ... ... ... ... ... ...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mo 12.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
(i) Diese Aussage ist wahr.
Beweis. Sei x Є P(A) [mm] \cup [/mm] P(B). Daraus folgt nach der Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B). Aus x Є P(A) folgt insbesondere x Є A und x [mm] \not\in [/mm] B. Aus x Є P(B) folgt insbesondere x Є B und x [mm] \not\in [/mm] A. Aus der Vereinigung von x Є A und x Є B folgt A [mm] \cup [/mm] B.
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Hallo,
> (i) Diese Aussage ist wahr.
> Beweis. Sei x Є P(A) [mm]\cup[/mm] P(B). Daraus folgt nach der
> Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B).
Ja.
> Aus x Є P(A) folgt insbesondere x Є A und x [mm]\not\in[/mm] B.
> Aus x Є P(B) folgt insbesondere x Є B und x [mm]\not\in[/mm] A.
> Aus der Vereinigung von x Є A und x Є B folgt A [mm]\cup[/mm] B.
Nee, das ist Kokolores.
Wir hatten: [mm] x\in [/mm] P(A) oder [mm] x\in [/mm] P(B).
Jetzt mußt Du Dir erstmal wieder klarmachen, was die Potenzmenge von A ist bzw. B. Von welcher Art sind die Elemente, die da drin sind?
Damit's vorwärts geht, verrate ich es Dir: es sind Teilmengen von A bzw. B drin.
Nochmal, weil's wichtig ist: die Elemente der Potenzmenge sind Mengen.
Es folgt also: [mm] x\subseteq [/mm] A oder [mm] x\subseteq [/mm] B.
Noch ein Wörtchen zum "oder" in der Mathematik.
"oder" in der Mathematik bedeutet: das eine oder das andere oder beides.
Das war Dir bisher wohl nicht klar.
Bevor wir jetzt weitermachen, kannst Du ja mal schauen, was Du am Ende haben willst: [mm] x\in P(A\cup [/mm] B).
Das ist gleichbedeutend mit [mm] x\subseteq (A\cup [/mm] B).
das Ende Deines Beweises sieht also so aus:
...
[mm] x\subseteq (A\cup [/mm] B)
==>
[mm] x\in P(A\cup [/mm] B).
Du mußt jetzt bloß den Anschluß herstellen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 12.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Vielen Dank. Soweit sollte es in Ordnung sein.
Beweis. Sei x Є P(A) [mm] \cup [/mm] P(B). Daraus folgt nach der Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B). Aus x Є P(A) folgt x Є { [mm] \emptyset,A [/mm] }. Aus x Є P(B) folgt x Є { [mm] \emptyset,B [/mm] }. Daraus folgt insbesondere x Є A oder x Є B. Dies is äquivalent zu x [mm] \subseteq [/mm] A oder x [mm] \subseteq [/mm] B. Daraus folgt x [mm] \subseteq [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B), was äquivalent ist zu x Є P(A [mm] \cup [/mm] B).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 12.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
| Aufgabe | | Für alle Mengen A und B gilt: P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B)$ [mm] \subseteq [/mm] $ P(A) $ [mm] \cup [/mm] $ P(B) |
Hallo Angela,
könntest du ein Blick auf die Lösung für diese Aufgabe werfen bitte.
Meine Idee:
Die Aussage ist falsch.
Beweis. Man zeige ein Gegenbeispiel. Sei A := {1,2} und B:= {2,3}. Aus P(A [mm] \cup [/mm] B) folgt P({{1,2},{2,3}}). Aus P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) folgt P({1,2}) [mm] \cup [/mm] P({2,3}). Es ist evident, dass die Menge P(A [mm] \cup [/mm] B) keine Teilmenge von P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) ist.
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Hallo,
> Für alle Mengen A und B gilt: P(A [mm]\cup[/mm] B)[mm] \subseteq[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B)
> Hallo Angela,
>
> könntest du ein Blick auf die Lösung für diese Aufgabe
> werfen bitte.
> Meine Idee:
>
> Die Aussage ist falsch.
> Beweis. Man zeige ein Gegenbeispiel.
Gute Idee!
> Sei A := {1,2} und B:= {2,3}.
Ok, das tut es als Gegenbsp.
> Aus P(A [mm]\cup[/mm] B) folgt P({{1,2},{2,3}}).
??? Was soll das denn heißen ???
> Aus P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) folgt P({1,2}) [mm]\cup[/mm] P({2,3}). Es ist
> evident, dass die Menge P(A [mm]\cup[/mm] B) keine Teilmenge von
> P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) ist.
Das verstehe, wer will!
Evident ist ein gefährliches Wort. Das sollst du ja genau zeigen ...
Schreibe mal die Mengen [mm]P(A\cup B)[/mm] und [mm]P(A)\cup P(B)[/mm] hin.
In [mm]P(A\cup B)[/mm] gibt es (u.a.) eine dreielementige Menge, in [mm]P(A)\cup P(B)[/mm] nicht ...
Anders: Wieviele Elemente hat [mm] $P(A\cup [/mm] B)$? Wieviele hat [mm] $P(A)\cup [/mm] P(B)$?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Di 13.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Danke für die Anmerkungen. Hier ein weiterer Lösungsansatz:
Beweis. Man zeige ein Gegenbeispiel. Man setzte A := {2} und B:={3}. Für P(A [mm] \cup [/mm] B) erhält man folgendes: { [mm] \emptyset [/mm] ,{2},{3},{2,3}}. Für P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) erhält man folgendes: { [mm] \emptyset, [/mm] {2},{3}}. Die Aussag P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) setzt voraus, dass alle Mengen in P(A [mm] \cup [/mm] B) auch in P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) vorhanden sind. Offensichtlich ist dies nicht der Fall. Die Menge {2,3} ist in P(A [mm] \cup [/mm] B), aber nicht in P(A) [mm] \cup [/mm] P(B) vorhanden.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:48 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] A\subseteq [/mm] B heisst NICHT, dass alle Elemente von A auch in B sein müssen!
A ist eine UNTERMENGE von B oder =B
Beispiel
[mm] \{1,2\}\subseteq\{1,2,4,6,100\}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:02 Di 13.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Aus meinem Skript:
"Mit anderen Worten bedeutet N [mm] \subseteq [/mm] M, dass alle Elemente von N auch in M liegen".
Diese Aussage steht ja im Widerspurch zu deiner Aussage.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:57 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart,
> [mm]A\subseteq[/mm] B heisst NICHT, dass alle Elemente von A auch
> in B sein müssen!
Doch. Genau so wird [mm] $A\subseteq [/mm] B$ üblicherweise definiert.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Beweis. Man zeige ein Gegenbeispiel. Man setzte A := [mm] $\{$2$\}$ [/mm]
> und [mm] B:=$\{$3$\}$. [/mm] Für P(A [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B) erhält man folgendes: $\{$
> [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,$\{$2$\}$,$\{$3$\}$,$\{$2,3$\}$$\}$. Für P(A) [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
P(B) erhält
> man folgendes: $\{$ [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$2$\}$,$\{$3$\}$$\}$. Die Aussag P(A [mm]\cup[/mm]
> B) [mm]\subseteq[/mm] P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) setzt voraus, dass alle Mengen
> in P(A [mm]\cup[/mm] B) auch in P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) vorhanden sind.
> Offensichtlich ist dies nicht der Fall. Die Menge [mm] $\{$2,3$\}$ [/mm] ist
> in P(A [mm]\cup[/mm] B), aber nicht in P(A) [mm]\cup[/mm] P(B) vorhanden.
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Vielen Dank. Soweit sollte es in Ordnung sein.
Hallo,
nein, ist es nicht.
Ich glaube, daß Dir nicht richtig klar ist, was "Potenzmenge" bedeutet, und was der unterschied zwischen [mm] \in [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] ist.
>
> Beweis. Sei x Є P(A) [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
P(B). Daraus folgt nach der
> Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B).
> Aus x Є P(A) folgt x Є { [mm]\emptyset,A[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
Nein.
Es folgt, wie ich bereits sagte, daß x irgendeine Teilmenge der Menge A ist.
> Aus x Є P(B)
> folgt x Є { [mm]\emptyset,B[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Daraus folgt insbesondere x Є
> A oder x Є B.
???
> Dies is äquivalent zu x [mm]\subseteq[/mm] A oder x [mm] \subseteq [/mm] B.
Nein.
> Daraus folgt x [mm]\subseteq[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] B), was
> äquivalent ist zu x Є P(A [mm]\cup[/mm] B).
Ja.
Ein paar Sachen sollten wir mal anhand eines Beispiels klären.
Wir nehmen [mm] A:=\{1,2\}, B:=\{2,3\}.
[/mm]
Es ist [mm] P(A)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, A\},
[/mm]
P(B)= [mm] \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, B\}
[/mm]
[mm] P(A\cup B)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\},\{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}, [/mm] und
[mm] P(A)\cup P(B)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, A, B\}.
[/mm]
So, nun nehmen wir uns mal ein [mm] x\in P(A)\cup [/mm] P(B) heraus,
etwa [mm] x=\{1\}.
[/mm]
Diese Menge ist ein Element der Menge [mm] P(A)\cup [/mm] P(B) , denn die Elemente der Menge [mm] P(A)\cup [/mm] P(B) sind nunmal gewisse Mengen und nicht Wäscheklammern in den Farben rot, grün, blau.
Gut. [mm] x\in P(A)\cup [/mm] P(B).
Überzeug Dich davon, daß [mm] x\in [/mm] P(A) oder [mm] x\in [/mm] P(B).
Hier ist [mm] x\in [/mm] P(A), also ist x eine Teilmenge von A
Überzeuge Dich, daß das stimmt.
Uberzeuge Dich davon, daß es richtig ist, daß hieraus folgt, daß x ene Teilmenge von [mm] A\cup [/mm] B ist.
Und die Teilmengen von [mm] A\cup [/mm] B sind nunmal die Elemente der Potenzmenge von [mm] A\cup [/mm] B.
Danach starte einen erneuten Beweisversuch.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mo 12.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Ich werde das hier so lange bearbeiten, bis es funtkioniert. Das sag ich dir.
Neuer Ansatz:
Beweis. Sei x Є P(A) [mm] \cup [/mm] P(B). Daraus folgt nach der Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B). Man setze A:={2} Aus P(A) folgt : { [mm] \emptyset [/mm] , {2}}. Man wähle für x = {2} Daraus folgt, dass x [mm] \subseteq [/mm] A. Daraus folgt, dass x [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B). Daraus folgt x Є P( A [mm] \cup [/mm] B).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 12.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xkyle,
> Ich werde das hier so lange bearbeiten, bis es
> funtkioniert. Das sag ich dir.
Gute Einstellung!
> Beweis. Sei x Є P(A) [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
P(B). Daraus folgt nach der
> Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B).
> Man setze A:=$\{$2$\}$
Nein, du sollst die Behauptung für alle Mengen A und B zeigen, nicht nur für ein selbst gewähltes A.
> Aus P(A) folgt : $\{$ [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, $\{$2$\}$$\}$.
Aus einer Aussage kann eine andere Aussage folgen. Es kann aber nicht eine Menge aus einer anderen Menge folgen.
Du meinst wohl, dass $P(A)=\{\emptyset,\{2\}\}$ gilt.
> Man wähle für x = {2}
Du musst für ALLE $x\in P(A)\cup P(B)$ zeigen, dass $x\in P(A\cup B)$ gilt, nicht nur für ein selbst gewähltes x.
> Daraus folgt, dass x [mm]\subseteq[/mm] A.
> Daraus folgt, dass x [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B).
Aus [mm] $x\subseteq [/mm] A$ folgt in der Tat [mm] $x\subseteq A\cup [/mm] B$.
> Daraus folgt
> x Є P( A [mm]\cup[/mm] B).
Ja.
Um die Lücke zu schließen: Du weißt ja, dass [mm] $x\in [/mm] P(A)$ oder [mm] $x\in [/mm] P(B)$ gilt. Betrachte beide Fälle separat:
1. Fall: [mm] $x\in [/mm] P(A)$, d.h. ..., also ... und somit [mm] $x\in P(A\cup [/mm] B)$.
2. Fall: [mm] $x\in [/mm] P(B)$, d.h. ..., also ... und somit [mm] $x\in P(A\cup [/mm] B)$.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Di 13.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Danke für die Anmerkungen. Hier ein weiterer Lösungsansatz:
Beweis. Sei x Є P(A) [mm] \cup [/mm] P(B). Daraus folgt nach der Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B). Aus x Є P(A) folgt x [mm] \subseteq [/mm] A. Daraus folgt x [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B). Daraus folgt x Є P( A [mm] \cup [/mm] B). Aus x Є P(B) folgt x [mm] \subseteq [/mm] B. Daraus folgt x [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B). Daraus folgt x Є P( A [mm] \cup [/mm] B).
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> Danke für die Anmerkungen. Hier ein weiterer
> Lösungsansatz:
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> Beweis. Sei x Є P(A) [mm]\cup[/mm] P(B). Daraus folgt nach der
> Definition der Vereinigung, dass x Є P(A) oder x Є P(B).
> Aus x Є P(A) folgt x [mm]\subseteq[/mm] A. Daraus folgt x [mm]\subseteq[/mm]
> (A [mm]\cup[/mm] B). Daraus folgt x Є P( A [mm]\cup[/mm] B).
> Aus x Є P(B)
> folgt x [mm]\subseteq[/mm] B. Daraus folgt x [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B).
> Daraus folgt x Є P( A [mm]\cup[/mm] B).
Hallo,
geht doch!
So ist's jetzt richtig.
LG Angela
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