Mengen bestimmen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f, eine Teilmnge A ihres Definitionsbereiches und das Bild f(A) von f bezüglich der Mengen A, also f(A)= [mm] {f(x):x\in A}
[/mm]
1. Geben sie f(A) und f(B) für f(x)= [mm] x^2, [/mm] A=[0,2] und B=[1,4] an.
Gelten in diesem Fall [mm] F(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) und [mm] f(A\cupB)= f(A)\cup [/mm] f(B)?
2. Finden sie zwei Mengen A und B so, dass [mm] f(A\cap B)\not= f(A)\cap [/mm] f(B) gilt.
3. Zeige, dass für eine beliebige Funktion [mm] g:\IR \to \IR [/mm] die Aussage [mm] g(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq g(A)\cap [/mm] g(B) für alle Mengen [mm] A,B\subseteq \IR [/mm] ist.
4. Formuliere und bewise eine Annahme hinsichtlich der beziehung zwischen [mm] g(A\cup [/mm] B) und [mm] g(A)\cup [/mm] g(B) für eine beliebige Funktion g. |
Könnt ihr mir bei diesen 4 teilaufgaben helfen? Ich verstehe es einafch nicht bzw. ich komme zu keiner Lösung. ich möchte es wirklich verstehen und nicht nur einfach eine Lösung "abschreiben"
Wäre über Hilfe Dankbar!
LG Mathegirl
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> Könnt ihr mir bei diesen 4 teilaufgaben helfen? Ich
> verstehe es einafch nicht bzw. ich komme zu keiner Lösung.
> ich möchte es wirklich verstehen und nicht nur einfach
> eine Lösung "abschreiben"
Hallo,
das ist ein sehr lobenswertes Vorhaben.
Ich gehe davon aus, daß Du Dich bereits mit den Aufgaben beschäftigt hast.
Teile uns in Zukunft bitte Deine eigenen Überlegungen mit, so daß man nachvollziehen kann, wo die Probleme liegen.
Wenn wir Dir helfen sollen, die Dinge zu verstehen, mußt Du uns auch helfen zu verstehen, wo Deine Probleme liegen.
Wenn wir nicht alles einzeln erfragen müssen, geht's auch schneller - was sicher in Deinem Interesse ist.
> Gegeben ist die Funktion f, eine Teilmnge A ihres
> Definitionsbereiches und das Bild f(A) von f bezüglich der
> Mengen A, also f(A)= [mm] \{{f(x):x\in A}\}
[/mm]
Ist Dir diese Definition klar? Kannst Du sagen, welche Elemente für [mm] A:=\{1,2,3\} [/mm] in der Menge f(A) liegen?
>
> 1. Geben sie f(A) und f(B) für f(x)= [mm]x^2,[/mm]
> A=[0,2] und
> B=[1,4] an.
Kannst Du rein von der Anschauung her (Graph) sagen, was f(A) und f(B) sind?
> Gelten in diesem Fall [mm]F(A\cap[/mm] B)= [mm]f(A)\cap[/mm] f(B) und
> [mm]f(A\cupB)= f(A)\cup[/mm] f(B)?
Vereinigung und Schnitt sind Dir vertraut?
Was ist [mm] A\cap [/mm] B?
Mit dem Rest warten wir erstmal, bis klar ist, ob der Begriff"Bild" klar ist.
Vorher hat's keinen Zweck.
Gruß v. Angela
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> Ist Dir diese Definition klar? Kannst Du sagen, welche
> Elemente für [mm]A:=\{1,2,3\}[/mm] in der Menge f(A) liegen?
i
in F(A) liegen meiner Meinung nach nur 1 und 2....
> Kannst Du rein von der Anschauung her (Graph) sagen, was
> f(A) und f(B) sind?
Zuerst einmal ist f(x)= [mm] x^2 [/mm] die Normalparabel. f(A) liegt im Intervall von [0,2] beinhaltet also den Schnittpunkt der Parabel. f(B) im Intervall [1,4] hat keinen Schnittpunkt, sondern "nur" einen "Parabelabschnitt"
> Vereinigung und Schnitt sind Dir vertraut?
> Was ist [mm]A\cap[/mm] B?
Hierbei liegen x sowohl in A als auch in B.
Das trifft nicht zu, denn F(B) beinhaltet nicht alle x aus f(x).
Die verinigungsmenge hingegen trifft zu.
Ich weiß nicht ob das stimmt, aber so bin ich zumindest der Meinung.
Mathegirl
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> > Ist Dir diese Definition klar? Kannst Du sagen, welche
> > Elemente für [mm]A:=\{1,2,3\}[/mm] in der Menge f(A) liegen?
> i
> in F(A) liegen meiner Meinung nach nur 1 und 2....
Hallo,
wie kommst Du zu dieser Meinung?
Kannst Du vielleicht nochmal die Def. von f(A) wiedergeben und erklären, wie Du mithilfe dieser zu Deinem Ergebnis gekommen bist?
>
> > Kannst Du rein von der Anschauung her (Graph) sagen, was
> > f(A) und f(B) sind?
>
> Zuerst einmal ist f(x)= [mm]x^2[/mm] die Normalparabel.
Ja.
> f(A) liegt
> im Intervall von [0,2]
Nein. In f(A) liegen alle die Funktionswerte, die vorkommen, wenn Du f(x) für [mm] x\in [/mm] [0,2] berechnest.
Es sind z.B. f(0), f(0.1), [mm] f(\pi/4),f( [/mm] 1.75) Elemente von f(A).
Mal Dir mal den Teil der Parabel über dem Intervall [0,2] farbig an.
Welche y-Werte hast Du dort?
> > Vereinigung und Schnitt sind Dir vertraut?
> > Was ist [mm]A\cap[/mm] B?
>
> Hierbei liegen x sowohl in A als auch in B.
Ja. Im Schnitt sind die Elemente, die sowohl in A als auch in B liegen.
> Das
Was?
> trifft nicht zu, denn F(B) beinhaltet nicht alle x aus
> f(x).
Es geht hier erstmal nicht um f(B), sondern wir beschäftigen uns doch gerade mit dem Schnitt der Mengen A und B.
Male auf der x-Achse das Intervall A gelb an und das Intervall B blau.
Der Schnitt ist das, was grün wird, also?
Gruß v. Angela
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> Kannst Du vielleicht nochmal die Def. von f(A) wiedergeben
> und erklären, wie Du mithilfe dieser zu Deinem Ergebnis
> gekommen bist?
Sorry, ich hab meinen Blödsinn selbst soeben bemerkt... f(A) sind alle Funktionswerte die im Intervall [0,2] liegen, also alle y Werte von 0-4
> Der Schnitt ist das, was grün wird, also?
Alle y-Werte von 1-4
LG Mathegirl
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Hallo,
es war [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=x^2,
[/mm]
A:=[0,2] und B:=[1,4].
>
> > Kannst Du vielleicht nochmal die Def. von f(A) wiedergeben
> > und erklären, wie Du mithilfe dieser zu Deinem Ergebnis
> > gekommen bist?
>
> Sorry, ich hab meinen Blödsinn selbst soeben bemerkt...
> f(A) sind alle Funktionswerte
von Argumenten ( =x-Werten)
>die im Intervall [0,2]
> liegen, also alle y Werte von 0-4
Ja.
f(A)=[0,4]
Nun bestimme f(B) und mach ein bißchen weiter.
Versuche dann, Deine Ergebnisse nachvollziehbar zu präsentieren.
>
>
> > Der Schnitt ist das, was grün wird, also?
>
> Alle y-Werte von 1-4
Hm. Kannst Du nochmal genau sagen, wovon Du den Schnitt ausgerechnet hast?
Ich dachte eigentlich zunächst an [mm] A\cap [/mm] B,
Wenn Du schon anderes berechnen kannst, ist das umso besser, aber dann schreib genau auf, was!
Eine kleine Warnung noch: mach diese Aufgabe fertig und danach erst die andere mit den Urbildern. Du bringst Dich sonst kolossal durcheinander - Naturdurcheinander hast Du genug, da solltest Du nicht noch künstliches erzeugen...
Gruß v. Angela
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> Nun bestimme f(B) und mach ein bißchen weiter.
> Versuche dann, Deine Ergebnisse nachvollziehbar zu
> präsentieren.
f(B) beinhaltet alle y von 2-4. f(B)=1,..,4 (mein problem, ich weiß nicht wie man das formal ausdrückt....ich weiß ja auch was bei der Aufgabe als Lösung stehen muss, nur kann ich es nicht formal ausdrücken!
> Hm. Kannst Du nochmal genau sagen, wovon Du den Schnitt
> ausgerechnet hast?
Ich dachte eigentlich zunächst an [mm]A\cap[/mm] B
der Schnitt von [mm] A\cap [/mm] B ist 1,2. Von daher kann [mm] f(A\capB) [/mm] = [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) nicht stimmen, denn [mm] f(A\capB) [/mm] beinhaltet die Werte 1-4 f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) aber nur die 4....
[mm] f(A\cup [/mm] B) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) hingegen stimmt. [mm] f(A\cup [/mm] B)= 0-16 und f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) enthält auch die y- Werte 0-16
LG Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 09.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ich korrigiere mich, denn Die Schnittmenge von [mm] f(A\capB) [/mm] ist gleich mit f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)...ich bin heute etwas unkonzentriert und aufgeregt...tut mir leid..
ich weiß nicht wie man das förmlich schreibt..
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Hallo Mathegirl,
> > Nun bestimme f(B) und mach ein bißchen weiter.
> > Versuche dann, Deine Ergebnisse nachvollziehbar zu
> > präsentieren.
>
> f(B) beinhaltet alle y von 2-4.
????
> f(B)=1,..,4
??? Wie passt das zur Zeile davor??
> (mein problem,
> ich weiß nicht wie man das formal ausdrückt....ich weiß
> ja auch was bei der Aufgabe als Lösung stehen muss, nur
> kann ich es nicht formal ausdrücken!
Es ist [mm]B=[1,4][/mm] und [mm]f(x)=x^2[/mm]
[mm]f(B)[/mm] ist die Menge aller Funktionswerte (y-Werte), die sich ergeben, wenn du alle Werte aus B (also x-Werte) in f reinstopfst.
ZB ist [mm]f(1)=1^2=1[/mm] und [mm]f(4)=4^2=16[/mm]
[mm]f[/mm] ist auf dem Intervall [mm]B=[1,4][/mm] stetig und streng monoton steigend, also werden in diesem Intervall alle Funktionswerte zwischen dem kleinsten ([mm]f(1)=1[/mm]) und dem größten ([mm]f(4)=16[/mm]) angenommen.
Also [mm]f(B)=f([1,4])=[1,16][/mm]
>
> > Hm. Kannst Du nochmal genau sagen, wovon Du den Schnitt
> > ausgerechnet hast?
> Ich dachte eigentlich zunächst an [mm]A\cap[/mm] B
>
> der Schnitt von [mm]A\cap[/mm] B ist 1,2. Von daher kann [mm]f(A\capB)[/mm] =
> [mm]f(A)\cap[/mm] f(B) nicht stimmen, denn [mm]f(A\capB)[/mm] beinhaltet die
> Werte 1-4 f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) aber nur die 4....
>
>
> [mm]f(A\cup[/mm] B) = f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) hingegen stimmt. [mm]f(A\cup[/mm] B)=
> 0-16 und f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) enthält auch die y- Werte 0-16
>
>
> LG Mathegirl
Gruß
schachuzipus
>
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Kann ich das so formal schreiben, oder ist das immernoch "Laiensprache"?
[mm] f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B)
f([1,2])= [mm] [0,4]\cap [/mm] [1,16]
[1,4]= [1,4]
[mm] f(A\cup [/mm] B)= [mm] f(A)\cup [/mm] f(B)
[mm] f([0,4])=[0,4]\cup [/mm] [1,16]
[0,16]=[0,16]
2.) Finde zwei Mengen A und B so, dass [mm] f(A\cap B)\not= f(A)\cap [/mm] f(B)
hmm....das ist gar nicht so einfach!
3.)
[mm] g(A\cap B)\subseteq g(A)\cap [/mm] g(B) gilt mit beliebiger Funktion g für alle Mengen. g: [mm] \IR\to \IR
[/mm]
[mm] g(x\in A\vee x\in B)\subseteq g(x\in [/mm] A) [mm] \vee g(x\in [/mm] B)
ist der Ansatz richtig?
4.) Formuliere und beweise eine Annahme hinsichtlich der beziehung zwischen [mm] g(A\cup [/mm] B) und g(A) [mm] \cup [/mm] (B) für beliebiges g.
soll ich mir da eine annahme ausdenken????
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich das so formal schreiben, oder ist das immernoch
> "Laiensprache"?
>
> [mm]f(A\cap[/mm] B)= [mm]f(A)\cap[/mm] f(B)
> f([1,2])= [mm][0,4]\cap[/mm] [1,16]
[mm][0,4]\cap[/mm] [1,16] = [1,4]
> [1,4]= [1,4]
>
> [mm]f(A\cup[/mm] B)= [mm]f(A)\cup[/mm] f(B)
> [mm]f([0,4])=[0,4]\cup[/mm] [1,16]
> [0,16]=[0,16]
[mm][0,4]\cup[/mm] [1,16]= [0,16
]
>
>
> 2.) Finde zwei Mengen A und B so, dass [mm]f(A\cap B)\not= f(A)\cap[/mm]
> f(B)
>
> hmm....das ist gar nicht so einfach!
Nimm mal [mm] f(x)=x^2, [/mm] A = { 1 } und B= { -1 }
>
> 3.)
>
> [mm]g(A\cap B)\subseteq g(A)\cap[/mm] g(B) gilt mit beliebiger
> Funktion g für alle Mengen. g: [mm]\IR\to \IR[/mm]
>
> [mm]g(x\in A\vee x\in B)\subseteq g(x\in[/mm] A) [mm]\vee g(x\in[/mm] B)
>
> ist der Ansatz richtig?
Nein. Es ist völlig wirr. Nimm ein y [mm] \in g(A\cap [/mm] B). Dann gibt es ein x [mm] \in A\cap [/mm] B mit:
y=g(x).
Da x [mm] \in [/mm] A, folgt y [mm] \in [/mm] ? und da x [mm] \in [/mm] B, folgt y [mm] \in [/mm] ?
>
> 4.) Formuliere und beweise eine Annahme hinsichtlich der
> beziehung zwischen [mm]g(A\cup[/mm] B) und g(A) [mm]\cup[/mm] (B) für
> beliebiges g.
>
> soll ich mir da eine annahme ausdenken????
nein. Du sollst Dir überlegen welche Beziehung zwischen $ [mm] g(A\cup [/mm] $ B) und g(A) $ [mm] \cup [/mm] $ (B) bestehen kann.
gilt vielleicht $ [mm] g(A\cup [/mm] $ B) [mm] \subseteq [/mm] g(A) $ [mm] \cup [/mm] $ (B) ?
oder
gilt vielleicht $ [mm] g(A\cup [/mm] $ B) [mm] \supseteq [/mm] g(A) $ [mm] \cup [/mm] $ (B) ?
oder
gilt vielleicht $ [mm] g(A\cup [/mm] $ B) = g(A) $ [mm] \cup [/mm] $ (B) ?
FRED
>
>
> Mathegirl
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[mm] f(x)=x^2 [/mm] , A={-1}, B={1}
[mm] f(A\capB)= f(A)\cap [/mm] f(B)
[mm] f({\emptyset})= [1]\cap [/mm] [1]
[mm] [\emptyset] [/mm] = [1]
stimmt das? und waren die anderen Formulierungen mit den anderen Mengen so korrekt geschrieben? oder muss die Frm anders aussehen?
3) [mm] g(A\capB)\subseteq g(A)\cap [/mm] g(B)
[mm] y\in g(A\cap [/mm] B). dann gibt es ein [mm] x\in A\capB [/mm] mit y=g(x). Da [mm] x\inA [/mm] folgt [mm] y\inA [/mm] und [mm] y\in [/mm] B.
4.) Davon steht nichts in der Aufgabenstellung!!
"Formuliere und beweise eine annahme hinsichtlich der beziehung zwischen [mm] g(A\cupB) [/mm] und [mm] g(A)\cup [/mm] g(B) für eine beliebige Funktion g."
gegeben ist wieder eine Funktion f, eine Teilmenge A ihres Definitionsbereiches und das Bild f(A9. mehr weiß ich dazu nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=x^2[/mm] , A={-1}, B={1}
>
> [mm]f(A\cap B)= f(A)\cap[/mm] f(B)
> [mm]f({\emptyset})= [1]\cap[/mm] [1]
Es handelt sich doch um Mengen ! Warum schreibst Du die Klammern [ und ] ?
Kennst Du keine Mengenklammern ????
Es ist f(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) = { 1 }
> [mm][\emptyset][/mm] = [1]
????????????????
Es ist [mm][\emptyset][/mm] [mm] \ne [/mm] { 1 }
>
> stimmt das? und waren die anderen Formulierungen mit den
> anderen Mengen so korrekt geschrieben? oder muss die Frm
> anders aussehen?
>
> 3) [mm]g(A\capB)\subseteq g(A)\cap[/mm] g(B)
> [mm]y\in g(A\cap[/mm] B). dann gibt es ein [mm]x\in A\capB[/mm] mit y=g(x).
> Da [mm]x\inA[/mm] folgt [mm]y\inA[/mm] und [mm]y\in[/mm] B.
Dem Quelltext entnehme ich, dass Du geschrieben hast:
> [mm]g(A \cap B)\subseteq g(A)\cap[/mm] g(B)
> [mm]y\in g(A \cap [/mm] B). dann gibt es ein [mm]x\in A \cap B[/mm] mit y=g(x).
> Da [mm]x\ inA [/mm] folgt [mm]y \in A[/mm] und [mm]y \in [/mm] B.
Nein.
Da [mm]x\ inA [/mm] folgt [mm]y \in g(A) [/mm] und, da x [mm] \in [/mm] B, folgt [mm]y \in [/mm] g(B).
>
> 4.) Davon steht nichts in der Aufgabenstellung!!
Wenn Du meinst ..... Dann bin ich mit meinem Latein am Ende
FRED
>
> "Formuliere und beweise eine annahme hinsichtlich der
> beziehung zwischen [mm]g(A\cupB)[/mm] und [mm]g(A)\cup[/mm] g(B) für eine
> beliebige Funktion g."
>
> gegeben ist wieder eine Funktion f, eine Teilmenge A ihres
> Definitionsbereiches und das Bild f(A9. mehr weiß ich dazu
> nicht.
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Darf man Links hier reinsetzen, zu dem Aufgabenzettel? vielleicht erkennt man es aus dem Zusammenhang?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Darf man Links hier reinsetzen, zu dem Aufgabenzettel?
Ja
Du kannst auch Rechts reinsetzen
FRED
> vielleicht erkennt man es aus dem Zusammenhang?
>
> Mathegirl
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hmm..keiner eine Idee, wie ich aufgabe 4 lösen kann?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> hmm..keiner eine Idee, wie ich aufgabe 4 lösen kann?
Ich verrat es Dir:
es gilt $g(A [mm] \cup [/mm] B)= g(A) [mm] \cup [/mm] g(B)$
Beweise es !
FRED
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 09.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe | 1. Geben sie $f(A)$ und $f(B)$ für $f(x)= [mm] x^2$ [/mm] , $A=[0,2]$ und $B=[1,4]$ an. Gelten in diesem Fall $f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ und $f(A [mm] \cup [/mm] B)= f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$?
2. Finden sie zwei Mengen $A$ und $B$ so, dass $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not [/mm] = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ gilt.
3. Zeige, dass für eine beliebige Funktion $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] die Aussage $g(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] g(A) [mm] \cap [/mm] g(B)$ für alle Mengen [mm] $A,B\subseteq \IR$ [/mm] richtig ist. |
Hallo,
also wenn du dir schon die Mühe machst die Aufgabenstellung abzutippen, dann mach es doch sauber und orginalgetreu, so dass du nicht später das ganze Blatt noch verlinken möchtest.
Nun wollte ich aber fragen, steht das Beispiel für die aus der zweiten Teilaufgabe nicht im Widerspruch zur dritten Aufgabe?
Also wenn ich aus der ersten Aufgabe $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] übernehme, als Intervalle $A, B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] mein Beispiel aus der zweiten Aufgabe nehme, d.h. $f(A) = [mm] \{f(x): -1 \le x \le 4 | x \in A\}$ [/mm] und [mm] $f(B)=\{f(x): 0 \le x \le 2 | x \in B\}$. [/mm] Anderst notiert: $A=[-1, 4]$ und $B=[0, 2]$. Dann ergibt sich doch, dass die Aussage nicht richtig sein kann? Denn [mm] $\{1 \le y \le 4 | f(x)=y\}$ [/mm] ist keine Teilmenge von [mm] $\{0 \le y \le 4 | f(x)=y\}$.
[/mm]
Argh, auf den letzten Zeichen der Eingabe merk ich es grad selbst, dass ich mich geirrt habe. Natürlich ist das eine Teilmenge. Dann hat sich die Aufgabe eigentlich auch insgesamt schon für mich erledigt. ;)
gruss, dfx
Edit#1: Doch, ich hab mir da noch was aus den Fingern gezogen. Die Notation zur Aufgabe 1. von Mathegirl, im Verlauf des Dialogs, dazu hat fred nicht Stellung genommen, ist das so legitim, auch wenn ich eins zwei Zeilen mehr habe, oder sollte man es da nicht so eng mit den Intervallen beschreiben?
Edit#2: Und, Mathegirl, wo man sich den besagten Fall zu 3. für den Durchschnitt angeschaut hat, welcher Fall wäre für die Vereinigung zu 4. wohl interessant zu beweisen?
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> 1. Geben sie [mm]f(A)[/mm] und [mm]f(B)[/mm] für [mm]f(x)= x^2[/mm] , [mm]A=[0,2][/mm] und
> [mm]B=[1,4][/mm] an. Gelten in diesem Fall [mm]f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)[/mm]
> und [mm]f(A \cup B)= f(A) \cup f(B)[/mm]?
> 2. Finden sie zwei Mengen
> [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] so, dass [mm]f(A \cap B) \not = f(A) \cap f(B)[/mm] gilt.
> 3. Zeige, dass für eine beliebige Funktion [mm]g: \IR \to \IR[/mm]
> die Aussage [mm]g(A \cap B) \subseteq g(A) \cap g(B)[/mm] für alle
> Mengen [mm]A,B\subseteq \IR[/mm] richtig ist.
> Nun wollte ich aber fragen, steht das Beispiel für die aus
> der zweiten Teilaufgabe nicht im Widerspruch zur dritten
> Aufgabe?
> Also wenn ich aus der ersten Aufgabe [mm]f(x) = x^2[/mm]
> übernehme, als Intervalle [mm]A, B \subseteq \IR[/mm] mein Beispiel
> aus der zweiten Aufgabe nehme, d.h. [mm]f(A) = \{f(x): -1 \le x \le 4 | x \in A\}[/mm]
> und [mm]f(B)=\{f(x): 0 \le x \le 2 | x \in B\}[/mm].
Hallo,
Du hast $A=[-1, 4]$ und $B=[0, 2]$.
Entscheide Dich nun, ob Du scheiben möchtest [mm] f(A)=\{f(x)| x\in A} [/mm] oder [mm] f(A)=\{f(x)| -1\le x\le 4\}. [/mm]
Beides ist gut und richtig, (statt | kannst Du auch : verwenden,) und Du bekommst f(A)= [0,16] [mm] (=\{x| 0\le x\le 16\})und [/mm] f(B)=[0,4].
> Anderst
> notiert: [mm]A=[-1, 4][/mm] und [mm]B=[0, 2][/mm].
> Dann ergibt sich doch,
> dass die Aussage nicht richtig sein kann? Denn [mm]\{1 \le y \le 4 | f(x)=y\}[/mm]
> ist keine Teilmenge von [mm]\{0 \le y \le 4 | f(x)=y\}[/mm].
??? Was sollen das für Mengen sein?
Es ist [mm] A\cap [/mm] B=[0,2], [mm] f(A\cap [/mm] B)=f([0,2])= [0,4],
und es ist [mm] f(A)\cap f(B)=[0,16]\cap [/mm] [0,4] =[0,4].
Das ist kein gutes Beispiel für Aufgabe 2, denn hier sind die Mengen [mm] f(A\cap [/mm] B) und [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) ja gleich, und Du solltest doch ein Beispiel für Ungleichheit bringen.
> Edit#1: Doch, ich hab mir da noch was aus den Fingern
> gezogen. Die Notation zur Aufgabe 1. von Mathegirl, im
> Verlauf des Dialogs, dazu hat fred nicht Stellung genommen,
> ist das so legitim, auch wenn ich eins zwei Zeilen mehr
> habe, oder sollte man es da nicht so eng mit den
> Intervallen beschreiben?
Sagst Du genau, auf welche Notation Du Dich beziehst?
Falls Du das meinst: Schnitte oder Vereinigungen von Intervallen darf man schreiben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 10.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo angela,
ich habe die Aufgabe gestern im Zug bearbeitet, nachdem ich mich erstmal überzeugt habe, dass es sich, wenn nicht erwähnt ist um welche Zahlenbereiche es geht, in unserem Fall immer um die reellen Zahlen geht.
Als erstes habe ich was gegeben ist nochmal in eigenen Worten aufgeschrieben, dann kam ich weiterhin zu folgendem.
Zu ($i$):
Für $A=[0,2]$ und $B=[1,4]$ gilt
[mm] $f(A\cap B)=f(A)\cap [/mm] f(B)$.
[mm] \gdw $f([0,2]\cap f([1,4])=f([0,2])\cap [/mm] f([1,4])$
[mm] \gdw $f([1,2])=[0,4]\cap[1,16]$
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] $[1,4]=[1,4]$
Ich wollte wissen, da es ja bei Mathegirl ganz ähnlich aussah, und von euch keiner weiter etwas dazu gesagt hat, ob ich es denn so schreiben könnte?
Dann sagst du, was ich mir ausgesucht hätte, wäre ein schlechtes Beispiel. Ausgeschrieben sah es für mich aber doch akzeptabel aus.
zu ($ii$)
Für $A=[-1,4]$ und $B=[0,2]$ ist
[mm] $f(A\cap B)\not=f(A)\cap [/mm] f(B)$.
[mm] $f(A\cap B)\not=f(A)\cap [/mm] f(B)$
[mm] \gdw $f([-1,4]\cap [0,2]\not=f([-1,4])\cap [/mm] f([0,2])$
[mm] \gdw $f([0,2]\not=[1,16]\cap [/mm] [0,4]$
[mm] \gdw $[0,4]\not=[1,4]$ [/mm]
Auf der linken Seite hat doch der Schnitt [mm] $A\cap [/mm] B$ nur die Punkte von einschließlich $0$ bis einschließlich $2$ auf dem $X$-Achsenabschnitt, so dass der $Y$-Achsenabschnitt der sich durch [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ergibt, dem Wertebereich von einschließlich [mm] $f(0)=0^2=0$ [/mm] bis einschließlich [mm] $f(2)=2^2=4$ [/mm] entspricht. Während die einzelnen Bilder von $f(A)$ und $f(B)$ im Schnitt einen kleineren Ausschnitt ergeben. Und zwar das Intervall von einschließlich [mm] $f(-1)=-1^2=1$ [/mm] bis einschließlich [mm] $f(2)=2^2=4$.
[/mm]
Ok, dann zu meinen Mengen. Du meinst, ich sollte bloß eine Eigenschaft pro Mengenklammer angeben. Und noch zu den Mengen, die ich zu ($iii$) betrachtet habe.
$A=[-1,4]$, [mm] $f(A)=[1,16]$=$\{1 \le y \le 16 | f(x)=y\}$
[/mm]
$B=[0,2]$, [mm] $f(B)=[0,4]$=$\{0 \le y \le 4 | f(x)=y\}$
[/mm]
[mm] $f(A\cap B)$=$f([-1,4]\cap[0,2])$=$f([0,2])$=$[0,4]$=$\{0\le y\le 4 | f(x)=y\}$
[/mm]
[mm] $f(A)\cap f(B)$=$f([-1,4])\cap f([0,2])$=$[1,16]\cap [0,4]$=$[1,4]$=$\{1\le y\le 4 | f(x)=y\}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $f(A\cap [/mm] B)$ [mm] \subset$f(A)\cap [/mm] f(B)$
So hab ich mir das vorgestellt.
gruesse, dfx
Edit: Das Wörtchen 'einschließlich' wurde sechs Mal eingefügt.
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> Zu ([mm]i[/mm]):
> Für [mm]A=[0,2][/mm] und [mm]B=[1,4][/mm] gilt
> [mm]f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)[/mm].
> [mm]\gdw[/mm] [mm]f([0,2]\cap f([1,4])=f([0,2])\cap f([1,4])[/mm]
Du meinst sicher [mm] \red{ f([0,2]\cap[1,4])= f([0,2])\cap f([1,4])}
[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]f([1,2])=[0,4]\cap[1,16][/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm][1,4]=[1,4][/mm]
>
> Ich wollte wissen, da es ja bei Mathegirl ganz ähnlich
> aussah, und von euch keiner weiter etwas dazu gesagt hat,
> ob ich es denn so schreiben könnte?
Hallo,
hmmm. Ich würd's auf jeden Fall anders schreiben...
Das Problem, welches ich sehe: um die Aussage zu beweisen, wäre die relevante Richtung ja die Rückrichtung, also wie Du aus der wahren Aussage [1,4]=[1,4] zu der zu beweisenden Aussage kommst.
Der Schritt "[1,4]=[1,4] ==> [mm] f([1,2])=[0,4]\cap[1,16] [/mm] " ist ein wenig erklärungsbedürftig:
Man müßte hier schon erwähnen, daß f([1,2])=[1,4] ist, und [mm] [0,4]\cap[1,16]=[1,4], [/mm] und daß die Folgerung deshalb gilt.
Die Zeile drüber hat man sowas dann nochmal, und insgesamt wird der beweis mit diesen Erklärungen wurschtelig.
Mach es doch so:
[mm] f(A\cap [/mm] B)= ... =[1,4],
[mm] f(A)\cap [/mm] f(B)= ...=[1,4],
somit sind beide Mengen gleich.
Auf diese Weise ist wenig zu schreiben, und Du bist alle Sorgen los.
> Dann sagst du, was ich mir ausgesucht hätte,
für Aufgabe 2.
> wäre ein
> schlechtes Beispiel. Ausgeschrieben sah es für mich aber
> doch akzeptabel aus.
>
> zu ([mm]ii[/mm])
> Für [mm]A=[-1,4][/mm] und [mm]B=[0,2][/mm] ist
> [mm]f(A\cap B)\not=f(A)\cap f(B)[/mm].
>
> [mm]f(A\cap B)\not=f(A)\cap f(B)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]f([-1,4]\cap [0,2]\not=f([-1,4])\cap f([0,2])[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]f([0,2]\not=[1,16]\cap [0,4][/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm][0,4]\not=[1,4][/mm]
Zweierlei:
1. Mach nicht so einen komischen Äquivalenzbeweis, sondern mach es wie oben.
Rechne vor, was [mm] f(A\cap [/mm] B) ist und was [mm] f(A)\cap [/mm] f(B), und weise darauf hin, daß die Ergebnisse verschieden sind - wenn sie denn verschieden sind...
2. Du solltest nochmal in Dich gehen, und Dir gründlichst überlegen, ob das Bild von [-1,4] wirklich [1,16] ist ...
Wenn Du das getan hast, wirst Du sehen, daß dieses Beispiel wirklich schlecht ist.
> Ok, dann zu meinen Mengen. Du meinst, ich sollte bloß eine
> Eigenschaft pro Mengenklammer angeben. Und noch zu den
> Mengen, die ich zu ([mm]iii[/mm]) betrachtet habe.
>
> [mm]A=[-1,4][/mm], [mm]f(A)=[1,16][/mm]=[mm]\{1 \le y \le 16 | f(x)=y\}[/mm]
Auf [mm] $\{1 \le y \le 16 | f(x)=y\}$ [/mm] kann sich kein Mensch einen Reim machen, weil man auch gar nicht weiß, was mit dem x gemeint ist.
[mm] $\{1 \le y \le 16 | f(x)=y\}$ [/mm] wäre in Worten formuliert:
die Menge der Zahlen zwischen 1 und 16, für die gilt: sie sind Funktionswert (unter f )von irgendwas.
Wenn Du [1,16] in Mengenschreibweise schreiben möchtest, dann sieht das so aus:
[mm] [1,16]=\{x\in \IR| 1\le x\le 16\}.
[/mm]
In Worten: die Menge aller reellen Zahlen, für welche gilt, daß sie zwischen 1 und 16 liegen.
Willst Du f([-1,4]) in Mengenschreibweise schreiben, so hast Du
[mm] f([-1,4])=\{f(x)| x\in [-1,4]\}. [/mm] In Worten: die Menge aller Funktionswerte, die man bekommt, wenn man in die Funktionsvorschrift sämtliche Zahlen im Intervall [-1,4] einsetzt.
> [mm]B=[0,2][/mm],
> [mm]f(B)=[0,4][/mm]=[mm]\{0 \le y \le 4 | f(x)=y\}[/mm]
>
> [mm]f(A\cap B)[/mm]=[mm]f([-1,4]\cap[0,2])[/mm]=[mm]f([0,2])[/mm]=[mm][0,4][/mm]=[mm]\{0\le y\le 4 | f(x)=y\}[/mm]
>
> [mm]f(A)\cap f(B)[/mm]=[mm]f([-1,4])\cap f([0,2])[/mm]=[mm][1,16]\cap [0,4][/mm]=[mm][1,4][/mm]=[mm]\{1\le y\le 4 | f(x)=y\}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(A\cap B)[/mm] [mm]\subset[/mm] [mm]f(A)\cap f(B)[/mm]
>
> So hab ich mir das vorgestellt.
Ja, laß einfach diese dubiosen Mengen weg und beschränke Dich auf die Angabe in Intervallen - allerdings habe ich jetzt irgendwie vergessen, zu welchem Aufgabenteil dies hier gehören sollte. Worum geht's? Ah, ich hab's: Aufg. 2, richtig?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mi 10.11.2010 | | Autor: | dfx |
> Hallo,
>
> hmmm. Ich würd's auf jeden Fall anders schreiben...
>
> Das Problem, welches ich sehe: um die Aussage zu beweisen,
> wäre die relevante Richtung ja die Rückrichtung, also wie
> Du aus der wahren Aussage [1,4]=[1,4] zu der zu beweisenden
> Aussage kommst.
>
> Der Schritt "[1,4]=[1,4] ==> [mm]f([1,2])=[0,4]\cap[1,16][/mm] " ist
> ein wenig erklärungsbedürftig:
> Man müßte hier schon erwähnen, daß f([1,2])=[1,4] ist,
> und [mm][0,4]\cap[1,16]=[1,4],[/mm] und daß die Folgerung deshalb
> gilt.
> Die Zeile drüber hat man sowas dann nochmal, und
> insgesamt wird der beweis mit diesen Erklärungen
> wurschtelig.
>
> Mach es doch so:
> [mm]f(A\cap[/mm] B)= ... =[1,4],
> [mm]f(A)\cap[/mm] f(B)= ...=[1,4],
>
> somit sind beide Mengen gleich.
> Auf diese Weise ist wenig zu schreiben, und Du bist alle
> Sorgen los.
Ja, na sicher. So hatte ich es zuerst, aber irgendwas hat mich dazu bewogen, mir den Umstand mit dem Äquivalenzbeweis zu machen, und wie du auch im weiteren gesehen hast, hielt ich daran kurzerhand fest.
> 2. Du solltest nochmal in Dich gehen, und Dir gründlichst
> überlegen, ob das Bild von [-1,4] wirklich [1,16] ist ...
> Wenn Du das getan hast, wirst Du sehen, daß dieses
> Beispiel wirklich schlecht ist.
In meinen Worten wäre das Bild f(A) von f über A=[-1,4], was ich sehe, wenn ich nur den Bereich von [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4 betrachte. Der Graph von [mm] x^2 [/mm] hat dabei nur positive Werte, liegt also oberhalb der x-Achse. Du hast recht. Er beginnt ja nicht erst bei 1.
> Wenn Du [1,16] in Mengenschreibweise schreiben möchtest,
> dann sieht das so aus:
> [mm][1,16]=\{x\in \IR| 1\le x\le 16\}.[/mm]
> In Worten: die Menge aller reellen Zahlen, für welche gilt,
> daß sie zwischen 1 und 16 liegen.
>
> Willst Du f([-1,4]) in Mengenschreibweise schreiben, so
> hast Du
> [mm]f([-1,4])=\{f(x)| x\in [-1,4]\}.[/mm] In Worten: die Menge
> aller Funktionswerte, die man bekommt, wenn man in die
> Funktionsvorschrift sämtliche Zahlen im Intervall [-1,4]
> einsetzt.
Danke für diesen Rat.
> Ja, laß einfach diese dubiosen Mengen weg und beschränke
> Dich auf die Angabe in Intervallen - allerdings habe ich
> jetzt irgendwie vergessen, zu welchem Aufgabenteil dies
> hier gehören sollte. Worum geht's? Ah, ich hab's: Aufg. 2,
> richtig?
Nein, ich wollte ursprünglich auf ein einfaches Gegenbeispiel für die Aufg. 3 hinaus. Dort sollte doch das Bild $f(A [mm] \cap [/mm] B)$ eine Teilmenge vom Schnitt [mm] $f(A)\cap [/mm] f(B)$ der Bilder $f(A)$ und $f(B)$ sein, was ich nicht glauben wollte, da ja bei der Aufg. 2 schon gezeigt werden sollte, dass die Schnitte ungleich sind. Das wird aber nun insgesamt schon etwas klarer.
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> Nein, ich wollte ursprünglich auf ein einfaches
> Gegenbeispiel für die Aufg. 3 hinaus. Dort sollte doch das
> Bild [mm]f(A \cap B)[/mm] eine Teilmenge vom Schnitt [mm]f(A)\cap f(B)[/mm]
> der Bilder [mm]f(A)[/mm] und [mm]f(B)[/mm] sein, was ich nicht glauben
> wollte, da ja bei der Aufg. 2 schon gezeigt werden sollte,
> dass die Schnitte ungleich sind. Das wird aber nun
> insgesamt schon etwas klarer.
Hallo,
zur Sicherheit:
stets gilt, daß [mm] g(A\cap B)\subseteq g(A)\cap [/mm] g(B) ist.
Dies sollst Du ja auch allgemein zeigen, nicht nur anhand von Beispielen.
Das schließt ja nicht aus, daß unter besonders glücklichen Umständen (bei "guten" Mengen oder Funktionen" auch mal [mm] g(A\cap [/mm] B)= [mm] g(A)\cap [/mm] g(B)
gilt.
Aber ohne besondere Voraussetzungen an g kann man [mm] g(A\cap [/mm] B)= [mm] g(A)\cap [/mm] g(B) nicht zeigen. Mit besonderen Voraussetzungen gilt das sehr wohl.
(Kannst ja mal, wenn Du Zeit hast, überlegen, woran die Gleichheit manchmal scheitert, und was Du folglich von g fordern müßtest. Und dann beweist Du das...)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 10.11.2010 | | Autor: | dfx |
> stets gilt, daß [mm]g(A\cap B)\subseteq g(A)\cap[/mm] g(B) ist.
> Dies sollst Du ja auch allgemein zeigen, nicht nur anhand
> von Beispielen.
Ja, ich war von der Geltung nicht so überzeugt, aber das Beispiel hat mich ja wie hier nachzulesen ist doch noch eines besseren belehrt, auch wenn es nicht ganz korrekt war.
> Das schließt ja nicht aus, daß unter besonders
> glücklichen Umständen (bei "guten" Mengen oder
> Funktionen" auch mal [mm]g(A\cap[/mm] B)= [mm]g(A)\cap[/mm] g(B)
> gilt.
>
> Aber ohne besondere Voraussetzungen an g kann man [mm]g(A\cap[/mm]
> B)= [mm]g(A)\cap[/mm] g(B) nicht zeigen. Mit besonderen
> Voraussetzungen gilt das sehr wohl.
> (Kannst ja mal, wenn Du Zeit hast, überlegen, woran die
> Gleichheit manchmal scheitert, und was Du folglich von g
> fordern müßtest. Und dann beweist Du das...)
Das führt mich auf meine ursprünglichen Überlegungen zurück. $g$ müsste bestimmte Eigenschaft haben, so dass man wie du es sagst, von einer bestimmten Gesinnung sprechen könnte. ;)
Mit anderen Worten muss ich das sowieso noch tun, da meine Überlegungen ja leicht verzerrt waren. Jetzt erstmal, Danke vielmals! Wir sehen uns bestimmt bald im nächsten Thread wieder. :)
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