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Es sei eine Menge und G = {f:M [mm] \to [/mm] M; f ist injektiv} die Menge aller injektiven Abbildungen von M nach M. Dann ist G zusammen mit der üblichen Verkettung von Abbildungen eine Gruppe.
Beweis: Man prüft die Gruppenaxiome:
(a) Die Verknüpfung ist assoziativ, weil die Verkettung beliebiger (und damit auch injektiver) Abbildungen nach einem Lemma immer assoziativ ist.
(b)Die Identität id ist ein neutrales Element bezüglich der Verkettung von Abbildungen. Sie ist ausserdem injektiv, liegt also in G.
(c) Ist f: M [mm] \to [/mm] M injektiv, so existiert eine Abbildung g: M [mm] \to [/mm] M mit g [mm] \circf= [/mm] id also ein inverses Elment
Also ist (G, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe. Ist das Richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 14.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Mir erscheint alles als richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Liebe Grüße,
Hanno
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Ich hab echt keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll ich hoff ihr könnt mir helfen... (war krank hab da wohl gefehlt...)
Also sei (G,*) eine gruppe. Man beweise:
a) Für alle x,y [mm] \in [/mm] G ist (x*y)^-1=y^-1*x^-1 und [mm] (x^-1)^1=x
[/mm]
B) G ist genau dann abelsch, wenn die Abbildung f: G [mm] \to [/mm] G, x [mm] \mapsto [/mm] x^-1
ein Isomorpismus ist.
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. LG Peter
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ich hab ne Frage weil ich nich weiss wie ich die Aufgabe angehen soll ich hoff ihr könnt mir helfen:
Ist (Q,+) isomorph zu (Q>0, multiplikation)
Würd mich über einen Ansatz freuen
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. lg Peter
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Hallo!
Also: es gibt keinen solchen Isomorphismus. Der Grund dafuer ist der:
Angenommen man hat einen solchen Isomorphis $f: [mm] \IQ \to \IQ_+^*$ [/mm] mit $f(0) = 1$ und $f(a + b) = f(a) [mm] \cdot [/mm] f(b)$.
Definiere $x := f(1)$. Dann ist $x [mm] \in \IQ_+$ [/mm] mit $x [mm] \not= [/mm] 0$ und $x [mm] \not=1$, [/mm] da $f$ injektiv sein soll.
Dann folgt aber doch fuer $n [mm] \in \IN$: [/mm] $f(n) = [mm] x^n$.
[/mm]
Ueberlege Dir: was ist dann [mm] $f(\frac{1}{n})$? [/mm] Ist das rational? Immer? Kann das so sein?
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 14.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Bili!
Aufgabe (a):
Es gilt:
[mm] $(x\cdot y)\cdot \left( (x\cdot y)^{-1}\right)=1$
[/mm]
Nach dem Assozitativgesetz folgt:
[mm] $x\cdot \left( y\cdot\left( x\cdot y\right)^{-1}\right)=1$
[/mm]
Somit muss [mm] $y\cdot \left( x\cdot y\right) [/mm] ^{-1}$ das Inverse zu $x$ sein, folglich gilt:
[mm] $\Rightarrow x^{-1}=y\cdot \left( x\cdot y\right) [/mm] ^{-1}$
Rechtsseitig verknüpfen wir nun beide Seiten mit [mm] $y^{-1}$ [/mm] und erhalten:
[mm] $\gdw y^{-1}\cdot x^{-1}=y^{-1}\cdot (y\cdot \left( x\cdot y\right) ^{-1})=(x\cdot y)^{-1}$, [/mm] q.e.d.
Bei der zweiten Behauptung gehst du ähnlich vor. Es gilt:
[mm] $\left( x^{-1}\right) ^{-1}\cdot x^{-1}=1$
[/mm]
Linksseitig verknüpfen wir beide Seiten mit $x$ und erhalten wegen der 1 als neutralem Element:
[mm] $\left( \left( x^{-1}\right) ^{-1}\cdot x^{-1}\right)\cdot [/mm] x=x$
[mm] $\gdw \left( x^{-1}\right) ^{-1}\cdot \left( x^{-1}\cdot x \right)=x$
[/mm]
[mm] $\gdw \left( x^{-1}\right) [/mm] ^{-1}=x$, q.e.d.
Aufgabe (b):
Wir müssen beide Richtungen zeigen:
[mm] $\Leftarrow$:
[/mm]
Sei also $f: [mm] G\to [/mm] G$ ein Isomorphismus auf $G$. Dann gilt nach Definition [mm] $(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$ [/mm] und wegen (a) auch [mm] $=y^{-1}\cdot x^{-1}$. [/mm] Wichtig ist also: [mm] $x^{-1}\cdot y^{-1}=y^{-1}\cdot x^{-1}$. [/mm] Da diese Gleichung für alle [mm] $x,y\in [/mm] G$ gilt und wegen der Bijektivität eines Isomorphismus jedes Element ein Inverses Element ist, folgt daraus sofort die Kommutativität von G - G ist also eine abelsche Gruppe.
[mm] $\Rightarrow$:
[/mm]
Nehmen wir an, $G$ sei abelsch. Für die Funktion $f: [mm] G\to [/mm] G, [mm] x\mapsto x^{-1}$ [/mm] gilt also: [mm] $f(x\cdot y)=(x\cdot y)^{-1}=y^{-1}\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}$ [/mm] (Letzteres folgt aus der Kommmutitativität von G). Die Abbildung $f$ ist also ein Automorphismus auf $f$. Es bleibt nun noch zu zeigen, dass $f$ bijektiv, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Injektiv:
Seien [mm] $x,y\in [/mm] G$ mit $f(x)=f(y)$. Dann gilt: [mm] $f(x)=f(y)\gdw x^{-1}=y^{-1}\gdw x^{-1}\cdot y=y^{-1}\cdot y=1\gdw [/mm] y=x$. Die Abbildung $f$ ist also injektiv.
Surjektiv:
Sei [mm] $y\in [/mm] G$. Dann muss es ein [mm] $x\in [/mm] G$ mit $f(x)=y$ geben. Es gilt [mm] $x=y^{-1}$, [/mm] wie sich durch (a) leicht nachrechnen lässt: [mm] $f(x)=f(y^{-1})=\left( y^{-1}\right) [/mm] ^{-1}=y$, q.e.d.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:06 Mo 15.11.2004 | | Autor: | BiliAgili |
Untersuche ob (G,*) in den folgenden Fällen eine Gruppe: (*=verknüpft mit)
{f: [mm] \IR \to \IR} [/mm] sei ein Menge aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] f*g: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei definiert durch (f*g) (x) = f(x)+g(x)
würd mich freuen wenn einer mir dabei helfen könnte
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
lg Peter
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Hallo!
Was Du hier hast, nennt sich "punktweise Addition".
Als Ansatz: die Funktion, die alles auf 0 abbildet ist natuerlich das neutrale Element.
Wieso ist $(f + g) = h = f + (g + h)$? Und was ist das Inverse zu $f$?
Die Aufgabe ist wirklich nicht schwer - versuche es einmal selbst.
Lars
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