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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Fr 24.09.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden ;engen offen, abgeschlossen und/oder kompakt sind.
a) A:= {2;4;6;8...} = {2k|k element von IN} [mm] \subseteq [/mm] IR |
Hallo meine Lieben :)
Erstmal muss ich mich entschuldigen.... ich hab das "Element" zeichen nicht gefunden :(...
und nun ein(ig)e Frage(n) zur Lösung:
Sei m Element A beliebig, dann gilt für alle [mm] \varepsilon: 0<\varepsilon<1
[/mm]
(1. Frage: wie kommt man hier auf die Idee Epsilon so zu wählen/setzen?)
Dann gilt für alle m Element A
° Die Epsilonumgebung von m geschnitten A ist ungleich der leeren Menge, m ist Element der Epsilonumgebung von m, m ist Element von A
°Die Epsilonumgebung von m geschnitten M-Kompliment ist ungleich der leeren Menge, da x Element IR mit x:= [mm] m+\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] Teilmenge der Epsilonumgebung von m
(2. Frage: Mir ist klar, dass wir hier zeigen wollen dass m beliebig gewählt ein Randpunkt ist und A somit abgeschlossen, aber... wie und womit ist das hier genau bewiesen worden?)
--> alle m Element A sind Randpunkte. Da der Rand abgeschlossen ist, ist A abgeschlossen. A ist nicht beschränkt.
-->nach Heine Borel folgt, dass A nicht kompakt ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 Fr 24.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Untersuchen Sie, ob die folgenden ;engen offen,
> abgeschlossen und/oder kompakt sind.
> a) A:= {2;4;6;8...} = {2k|k element von IN} [mm]\subseteq[/mm] IR
> Hallo meine Lieben :)
> Erstmal muss ich mich entschuldigen.... ich hab das
> "Element" zeichen nicht gefunden :(...
> und nun ein(ig)e Frage(n) zur Lösung:
>
> Sei m Element A beliebig, dann gilt für alle [mm]\varepsilon: 0<\varepsilon<1[/mm]
>
> (1. Frage: wie kommt man hier auf die Idee Epsilon so zu
> wählen/setzen?)
Nun, man kann es auch $< 2$ waehlen (je nach Definition auch [mm] $\le [/mm] 2$). Schau dir die Menge an: das sind einzelnde Punkte mit Abstand 2. Wenn du eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] angeben sollst um einen Punkt, die aus dieser Menge nur diesen Punkt enthaelt, musst du also einen Radius von kleiner 2 nehmen.
> Dann gilt für alle m Element A
> ° Die Epsilonumgebung von m geschnitten A ist ungleich
> der leeren Menge, m ist Element der Epsilonumgebung von m,
> m ist Element von A
Genau.
> °Die Epsilonumgebung von m geschnitten M-Kompliment ist
> ungleich der leeren Menge, da x Element IR mit x:=
> [mm]m+\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] Teilmenge der Epsilonumgebung von
> m
>
> (2. Frage: Mir ist klar, dass wir hier zeigen wollen dass m
> beliebig gewählt ein Randpunkt ist und A somit
> abgeschlossen, aber... wie und womit ist das hier genau
> bewiesen worden?)
Nun, wie sieht die Definition aus, dass $m [mm] \in [/mm] A$ ein Randpunkt ist? Dazu muss doch fuer jedes [mm] $\varepsilon> [/mm] 0$ gelten, dass die [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $m$ ein Element aus [mm] $\IR \setminus [/mm] A$ enthaelt.
Es reicht auch voellig aus, dies fuer alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] kleiner als einer Schranke (hier: 1) zu zeigen.
Genau das wurde hier im 2. Schritt gemacht.
> --> alle m Element A sind Randpunkte. Da der Rand
> abgeschlossen ist, ist A abgeschlossen. A ist nicht
> beschränkt.
> -->nach Heine Borel folgt, dass A nicht kompakt ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
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