Mengen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | was ist denn der Unterschied zwischen A+B und A [mm] \cup [/mm] B,
A, B sind MEngen
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Was die Vereinigung bedeutet ist mir schon klar:
es existiert ein [mm] x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B wofür gilt: [mm] x\in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B
ich finde aber keine Definition von der summe zweier mengen, weder in meinem skript oder in meinen mathebüchern im Internet hab ich da auch nichts gefunden....?!?!?
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> was ist denn der Unterschied zwischen A+B und A [mm]\cap[/mm] B,
> A, B sind MEngen
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> Was die Vereinigung bedeutet ist mir schon klar:
> es existiert ein [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B wofür gilt: [mm]x\in[/mm] A oder x
> [mm]\in[/mm] B
>
> ich finde aber keine Definition von der summe zweier
> mengen, weder in meinem skript oder in meinen mathebüchern
> im Internet hab ich da auch nichts gefunden....?!?!?
Hallo,
es ist gerade ein Chaos im Anmarsch: möchtest Du über Vereinigungen von Mengen sprechen oder lieber über Schnitte?
Wenn A, B Mengen sind, so ist
[mm] A\cup [/mm] B:= [mm] \{ x| x\in A oder x\in B\}
[/mm]
[mm] A\cap [/mm] B:= [mm] \{ x| x\in A und x\in B\}.
[/mm]
A+B ist etwas anderes.
Ich nehme mal an, daß Deine Frage der Linearen Algebra entstammt, im Zusammenhang mit dem Dimensionssatz o.ä., und daß A, B Unterräume eines Vektorraumes sein sollen (- oder so ähnlich, jedenfalls Teilmengen einer Menge, auf der eine Addition erklärt ist.)
Dann ist
[mm] A+B:=\{a+b| a\in A und b\in B\}.
[/mm]
A+B umfaßt also alle Summen, die aus Elementen v. A und B gebildet werden können.
In der Annahme, daß es um Vektorräume geht:
Du kansnt zeigen, daß für Unterräume A,B [mm] A\cap [/mm] B und A+B Vektorräume sind,
[mm] A\cup [/mm] B in der Regel nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
es handelt sich hier um Teilräume :
A+B=A+C
folgt daraus, dass B und C gleich sind?
Ich nehme ja jeweils zwei Elemente a und b ( aus A und B) und deren Summe muss das gleich sein wie b+c (B und C)
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> es handelt sich hier um Teilräume :
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> A+B=A+C
> folgt daraus, dass B und C gleich sind?
Hallo,
nein, das folgt daraus i.a. nicht, und ein entsprechendes Gegenbeispiel solltest Du Dir jetzt mal überlegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
A [mm] \cap [/mm] (B+C)=(A [mm] \cap [/mm] B)+(A [mm] \cap [/mm] C)
ich hatte es nun so versucht zu lösen:
y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B+C)
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] (B+C)
[mm] \gdw y\in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] B oder [mm] y\in [/mm] A und y [mm] \in [/mm] C
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) + [mm] y\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)+(A\cap [/mm] C)
aber das ist glaubig nicht richtig, weil hier ja von der Summe der Unterräume und nicht von der Summe von Mengen die Rede ist....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
noch eine weitere Frage.... die Elemtne in einem Vekotrraum sind ja Vektoren...
A und B sind Untervektorräume...
um jetzt zu zeigen, dass das Beispiel oben falsch ist muss ich ja nen gegenbeispiel durchführen....da komm ich ins schwankn
A+B .....
[mm] \vektor{1 \\ 2}+\vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 6}
[/mm]
ich weiß nicht ob das mit dem A+B stimmt... A und B sind ja eigentlich Untervektorräuem.... aber für das gegenbeispiel brauche ich ja nur jweils ein Element aus jedem Raum gell?
aber wie kann ich dann [mm] A\cap [/mm] B darstellen?
[mm] \vektor{1 \\ 2} \cap \vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{? \\ ?}, [/mm]
Ps: ist es egal wie "groß" meine Vektoren sind die ich für das Gegenbeispiel benutzen möchte, also ob es ein Vekotr mit 2, 3 oder 9 Einträgen ist?
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> noch eine weitere Frage.... die Elemtne in einem Vekotrraum
> sind ja Vektoren...
>
> A und B sind Untervektorräume...
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> um jetzt zu zeigen, dass das Beispiel oben falsch ist muss
> ich ja nen gegenbeispiel durchführen....da komm ich ins
> schwankn
>
> A+B .....
> [mm]\vektor{1 \\ 2}+\vektor{3 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 6}[/mm]
> ich
> weiß nicht ob das mit dem A+B stimmt... A und B sind ja
> eigentlich Untervektorräuem....
Hallo,
ach, Dir ist schon klar, daß die Behauptung nicht stimmt...
Da es sich hier um Unterräume handelt, mußt Du natürlcih durch Angabe v. Unterräumen widerlegen.
Sag, was jeweils der Schnitt ist, die Summe, und zeig so, daß die Aussage nicht stimmt.
Wenn Dir was einfällt, kannst Du das mit übersichtlichen Vektorräumen machen. Das müssen nicht Funktionenräume sein...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
>
> Sag, was jeweils der Schnitt ist
kann ich das Gegenbeispiel also nicht mit der Addition und dem Durchschnitt von 2 Vektoren machen?
Vekotren sind doch die elemnte von Vektorräumen.
> Wenn Dir was einfällt, kannst Du das mit übersichtlichen
> Vektorräumen machen. Das müssen nicht Funktionenräume
> sein...
>
> Gruß v. Angela
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> kann ich das Gegenbeispiel also nicht mit der Addition und
> dem Durchschnitt von 2 Vektoren machen?
> Vekotren sind doch die elemnte von Vektorräumen.
Ich kann mir das schlecht vorstellen, ich glaube nciht, daß das was Richtiges bei rauskommt.
Aber ich mag mich täuschen.
Wie geht denn Dein Gegenbeispiel?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
ich hab noch keins, da ich nicht weiß wie ich den Durschnitt von 2 Vektoren ausrechne....
aber ich wüsste halt nicht sonst wie man nen Gegenbeipsiel wählen könnte, sonst hat man bei Mengen ja auch 2 Elemente , also Zahlen genommen.....
wie könnte man denn sonst ein Gegenbeipsiel versuchen? die Definition von dem Schnitt hilft mir da nicht viel weiter(der durchschnitt von zwei Unterräumen ist wieder ein Unterraum..... eine genauere Definition ist mir nicht bekannt hab ich auch nirgends gefunden...)
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> ich hab noch keins, da ich nicht weiß wie ich den
> Durschnitt von 2 Vektoren ausrechne....
Das ist beruhigend...
Man kann zwei Vektoren nämlch nicht zum Schnitt bringen.
> aber ich wüsste halt nicht sonst wie man nen Gegenbeipsiel
> wählen könnte, sonst hat man bei Mengen ja auch 2 Elemente
> , also Zahlen genommen.....
Nein. Wenn man Mengen schneiden wollte, hat man nie zwei Elemente zum Schnitt gebracht.
> wie könnte man denn sonst ein Gegenbeipsiel versuchen?
Du mußt Dir einen Raum suchen und Unterräume, mit denen das nicht klappt.
Du kommst dafür - falls Du in der Oberstufe Lineare Algebra hattest - mit Schulkenntnissen aus.
Nimm doch einfach mal den [mm] \IR^2, [/mm] drei eindimensionale Unterräume (wie sehen die aus?) und dann los!
Auch Schnitte v. Räumen kennst Du doch aus der Schule, oder habt Ihr nie Ebenen zum Schnitt gebracht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
ah ich hab da was mit drei geraden die durch den ursprug gehen
kann man den sagen, dass gerade unterräume von [mm] R^{2} [/mm] sind?
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> ah ich hab da was mit drei geraden die durch den ursprug
> gehen
> kann man den sagen, dass gerade unterräume von [mm]R^{2}[/mm]
> sind?
Ja sicher! (Daß sie durch den Ursprung gehen ist wichtig, sonst sind's keine Unterräume.)
Die Geraden durch den Ursprung sind die echten Unterräume des [mm] \IR^2, [/mm]
Und die Ebenen und Geraden durch den Ursprung sind die echten Unterräume des [mm] \IR^3. [/mm] Diese Dinge darfst Du nicht vergessen, Du mußt unter all dem Unbekannten und Neuen immer nach Ankerplätzen aus Deiner mathematischen Vergangenheit suchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
W [mm] \cap [/mm] (R+(W [mm] \cap [/mm] U))= (W [mm] \cap [/mm] R)+(W [mm] \cap [/mm] U)
In diesem Falle würde die Gleichung ja stimmen, für das Beispiel, dass alle drei Geraden W, R, U durch den Ursprung gehen......
aber das wäre dann ja kein allgemeiner Beweis, stimmt? die geraden können ja auch alle durch den Punkt 1,1 gehen....
hat hier jm einen tipp?
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> W [mm]\cap[/mm] (R+(W [mm]\cap[/mm] U))= (W [mm]\cap[/mm] R)+(W [mm]\cap[/mm] U)
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> In diesem Falle würde die Gleichung ja stimmen, für das
> Beispiel, dass alle drei Geraden W, R, U durch den Ursprung
> gehen......
> aber das wäre dann ja kein allgemeiner Beweis, stimmt?
Richtig, aber trotzdem sind so Beispiele immer gut für einen selbst.
die
> geraden können ja auch alle durch den Punkt 1,1 gehen....
Nein, jedenfalls können sie sich nicht alle in (1,1) schneiden, sonst wären es keine Unterräume - die müssen ja durch den Ursprung gehen.
Gruß v. Angela
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> hat hier jm einen tipp?
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> W [mm]\cap[/mm] (R+(W [mm]\cap[/mm] U))= (W [mm]\cap[/mm] R)+(W [mm]\cap[/mm] U)
> hat hier jm einen tipp?
Hallo,
ich würde jetzt elementweise die beiden Inklusionen zeigen.
" W [mm]\cap[/mm] (R+(W [mm]\cap[/mm] [mm] U))\subseteq [/mm] (W [mm]\cap[/mm] R)+(W [mm]\cap[/mm] U)":
sei [mm] x\in [/mm] W [mm]\cap[/mm] (R+(W [mm]\cap[/mm] U))
==> [mm] x\in [/mm] W und es gibt [mm] r\in [/mm] R, [mm] u\in [/mm] W [mm]\cap[/mm] U mit x=r+u
und dann weiter unter Berücksichtigung der Tatsache, daß man es mit Mengen zu tun hat, welche Vektorräume sind.
Gruß v. Angela
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> A [mm]\cap[/mm] (B+C)=(A [mm]\cap[/mm] B)+(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> ich hatte es nun so versucht zu lösen:
>
> [mm]\gdw \exists[/mm] y [mm]\in[/mm] A und [mm]\exists y\in[/mm] (A+B)
Hallo,
zum einen fängst Du völlig aus dem luftleeren Raum heraus an.
Wozu soll das äquivalent sein?
Da fehlt doch der Anfang!
Z.B.
sei [mm] y\in [/mm] A [mm]\cap[/mm] (B+C)
==> [mm] y\in [/mm] A oder [mm] y\in [/mm] B+C.
Mit [mm] \exists [/mm] y hat das nichts zu tun.
Soviel dazu.
> aber das ist glaubig nicht richtig, weil hier ja von der
> Summe der Unterräume und nicht von der Summe von Mengen die
> Rede ist....
Hast Du die Aussage denn schon überprüft?
Mit welchen Vektorräumen?
Stimmt sie bei allen Deinen Beispielen?
Du kannst diese Aussage nicht beweisen, auch, wenn Du Dich noch so geschickt anstellst.
Sie stimmt nicht.
Gruß v. Angela
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