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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Offenheit und Abgeschlossenheit.
Geben Sie jeweils auch die abgeschlossene Hülle und den offenen Kern dieser Mengen an.
a) [mm] A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\}
[/mm]
b) [mm] B=\{(x,y,z)\in \IR^3 : x+y+z=3\}
[/mm]
c) [mm] D=\bigcap_{t\in \IR}B((t,0,0,0), \bruch{t}{\wurzel{2}})\subset \IR^4 [/mm] |
Hallo zusammen,
Habe da mal ne Frage bezüglich dieser Aufgabe.
Bei a)
Also meine Behaubtung wäre das diese Menge offen ist da |x|<|y|.
Nur wäre meine Frage wie ich dies zeigen kann.Ich hatte die Idee eine beliebige Folge [mm] x_n\in [/mm] A zu nehmen und zu zeigen das der Grenzwert nicht in A liegt.Somit wüsste ich das A nicht abgeschlossen ist.Nur folgt ja daraus leider nicht das A offen ist.Weiss da irgendwie nicht weiter und wie mann das so formal aufschreibt.
Mit dem offenen Kern und der abgeschlossenen Hülle ist es mir auch noch ein bischen Unklar.
Bei b) müsste die Menge ja abgeschlossen sein.....
Wäre sehr dankbar wenn mir da jemand bischen hilft.
MFG Dave
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> Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Offenheit und
> Abgeschlossenheit.
> Geben Sie jeweils auch die abgeschlossene Hülle und den
> offenen Kern dieser Mengen an.
>
> a) [mm]A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\}[/mm]
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") [mm] $\IR^3$?? [/mm] - ich nehmen einen Schreibfehler an und interpretiere dies als [mm] $\IR^2$.
[/mm]
> b) [mm]B=\{(x,y,z)\in \IR^3 : x+y+z=3\}[/mm]
>
> c) [mm]D=\bigcap_{t\in \IR}B((t,0,0,0), \bruch{t}{\wurzel{2}})\subset \IR^4[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> Habe da mal ne Frage bezüglich dieser Aufgabe.
>
> Bei a)
>
> Also meine Behaubtung wäre das diese Menge offen ist da
> |x|<|y|.
Richtig.
> Nur wäre meine Frage wie ich dies zeigen kann.Ich hatte
> die Idee eine beliebige Folge [mm]x_n\in[/mm] A zu nehmen und zu
> zeigen das der Grenzwert nicht in A liegt.Somit wüsste ich
> das A nicht abgeschlossen ist.Nur folgt ja daraus leider
> nicht das A offen ist.Weiss da irgendwie nicht weiter und
> wie mann das so formal aufschreibt.
Um, wie wärs mit einem salopperen Ansatz. Was man dazu wissen muss ist nur folgendes: eine Abbildung $f$ ist genau dann stetig, wenn inverse Bilder [mm] $f^{-1}(O)$ [/mm] offener Mengen $O$ offene Mengen sind. (Analog sind die inversen Bilder abgeschlossener Mengen unter einer stetigen Abbbildung abgeschlossen.)
Zum Beweis, dass a) offen ist, kann man sich also auf die Stetigkeit der Abbildung $f: [mm] \IR^2\ni (x,y)\mapso [/mm] |y|-|x| [mm] \in \IR$ [/mm] stützen: denn [mm] $]0;+\infty[$ [/mm] ist eine offene Menge von [mm] $\IR$ [/mm] und es ist
[mm] [center]$A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\} [/mm] = [mm] f^{-1}\left(]0;+\infty[\right)$[/center]
[/mm]
also ist $A$ offen, wie Du richtig vermutet hast. Da diese Menge offen ist, ist sie ihr eigener offfener Kern, [mm] $A=A^\circ$.
[/mm]
Die abgeschlossene Hülle [mm] $\overline{A}$ [/mm] von $A$ erhält man hier, indem man [mm] $\overline{]0;+\infty[}=[0;+\infty[$ [/mm] mit derselben stetigen Abbildung $f$ invers abbildet:
[mm] [center]$\overline{A}=f^{-1}([0;+\infty[)=\{(x,y)\in\IR^2 \mid 0\leq |y|-|x|\}=\{(x,y)\in\IR^2\mid |x|\leq |y|\}$[/center]
[/mm]
> Mit dem offenen Kern und der abgeschlossenen Hülle ist es
> mir auch noch ein bischen Unklar.
>
> Bei b) müsste die Menge ja abgeschlossen sein.....
Richtig: anschaulich gesprochen handelt es sich um eine Ebene im [mm] $\IR^3$. [/mm] Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man das inverse Bild der abgeschlossenen Menge [mm] $\{3\}$ [/mm] von [mm] $\IR$ [/mm] unter der stetigen Abbildung [mm] $f:\IR^3\ni(x,y,z)\mapsto x+y+z\in \IR$ [/mm] betrachten:
[mm] [center]$B=\{(x,y,z)\in \IR^3 : x+y+z=3\} [/mm] = [mm] f^{-1}\left(\{3\}\right)$[/center]
[/mm]
also ist $B$ abgeschlossen - und daher natürlich ihre eigene abgeschlossene Hülle: [mm] $B=\overline{B}$. [/mm] Ihr offener Kern ist aber leer [mm] $B^\circ=\{\}$.
[/mm]
Zu c): Nicht-endliche Durchschnitte offener Mengen brauchen nicht offen zu sein. Daher wird man sich bei dieser Aufgabe zuerst einmal eine klarere intuitive Vorstellung des Aussehens des fraglichen Durschnitts erarbeiten wollen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 04.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hallo Somebody, zuerst mal danke für deine hilfe.
> > a) [mm]A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\}[/mm]
>
> [mm]\IR^3[/mm]?? - ich nehmen einen Schreibfehler an und
> interpretiere dies als [mm]\IR^2[/mm].
Ja sorry, habe mich da vertippt.
> Um, wie wärs mit einem salopperen Ansatz. Was man dazu
> wissen muss ist nur folgendes: eine Abbildung [mm]f[/mm] ist genau
> dann stetig, wenn inverse Bilder [mm]f^{-1}(O)[/mm] offener Mengen [mm]O[/mm]
> offene Mengen sind. (Analog sind die inversen Bilder
> abgeschlossener Mengen unter einer stetigen Abbbildung
> abgeschlossen.)
Ok der Satz ist mir klar.Hoffe natürlich das ich den benutzen darf,da der in der Vorlesung noch nicht dran kahm meine ich.
> Zum Beweis, dass a) offen ist, kann man sich also auf die
> Stetigkeit der Abbildung [mm]f: \IR^2\ni (x,y)\mapso |y|-|x| \in \IR[/mm]
> stützen: denn [mm]]0;+\infty[[/mm] ist eine offene Menge von [mm]\IR[/mm] und
> es ist
>
> [mm]A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\} = f^{-1}\left(]0;+\infty[\right)[/mm]
Auf [mm] \left(]0;+\infty[\right) [/mm] bist du gekommen wegen |y|-|x|>0 oder??
Habe da noch bischen schwierigkeiten mit der Umkehrabbildung.Und noch eine kleine Frage:Woran erkenne ich das meine Funktion hier stetig ist?
> also ist [mm]A[/mm] offen, wie Du richtig vermutet hast. Da diese
> Menge offen ist, ist sie ihr eigener offfener Kern,
> [mm]A=A^\circ[/mm].
>
> Die abgeschlossene Hülle [mm]\overline{A}[/mm] von [mm]A[/mm] erhält man
> hier, indem man [mm]\overline{]0;+\infty[}=[0;+\infty[[/mm] mit
> derselben stetigen Abbildung [mm]f[/mm] invers abbildet:
>
> [mm]\overline{A}=f^{-1}([0;+\infty[)=\{(x,y)\in\IR^2 \mid 0\leq |y|-|x|\}=\{(x,y)\in\IR^2\mid |x|\leq |y|\}[/mm]
Dieser Schritt ist mir auch noch unklar [mm]\overline{]0;+\infty[}=[0;+\infty[[/mm] !Aber wahrscheinlich weil für die abgeschlossene Hülle [mm] 0\leq [/mm] |y|-|x| gelten muss ,oder?
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> Hallo Somebody, zuerst mal danke für deine hilfe.
>
> > > a) [mm]A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\}[/mm]
> >
> > [mm]\IR^3[/mm]?? - ich nehmen einen Schreibfehler an und
> > interpretiere dies als [mm]\IR^2[/mm].
>
> Ja sorry, habe mich da vertippt.
>
> > Um, wie wärs mit einem salopperen Ansatz. Was man dazu
> > wissen muss ist nur folgendes: eine Abbildung [mm]f[/mm] ist genau
> > dann stetig, wenn inverse Bilder [mm]f^{-1}(O)[/mm] offener Mengen [mm]O[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > offene Mengen sind. (Analog sind die inversen Bilder
> > abgeschlossener Mengen unter einer stetigen Abbbildung
> > abgeschlossen.)
>
> Ok der Satz ist mir klar.Hoffe natürlich das ich den
> benutzen darf,
Andernfalls könnte man ihn zu beginn der Lösung als "kleinen Hilfssatz" leicht beweisen. Denn ist $O$ eine offene Menge, so gibt es für jedes $f(x)\in O$ eine Umgebung $U_{\varepsilon}(f(x))\subseteq O$ und wegen der Stetigkeit von $f$ eine Umgebung $U_{\delta}(x)}$ mit $f\big(U_{\delta}(x)\big)\subseteq U_{\varepsilon}(f(x))$. Woraus aber sogleich $U_{\delta}(x)\subseteq f^{-1}(O)$ und damit die Offenheit des inversen Bildes $f^{-1}(O)$ der offenen Menge $O$ bei der stetigen Abbildung $f$ folgt.
Analog für inverse Bilder abgeschlossener Mengen (wobei man diese Fall mit Vorteil auf die Offenheit der Komplemente von Bild und inversem Bild zurückführt).
>da der in der Vorlesung noch nicht dran kam meine ich.
Ok, tut mir leid: das konnte ich nicht wissen.
>
> > Zum Beweis, dass a) offen ist, kann man sich also auf die
> > Stetigkeit der Abbildung [mm]f: \IR^2\ni (x,y)\mapso |y|-|x| \in \IR[/mm]
> > stützen: denn [mm]]0;+\infty[[/mm] ist eine offene Menge von [mm]\IR[/mm] und
> > es ist
> >
> > [mm]A=\{(x,y)\in \IR^3 : |x|<|y|\} = f^{-1}\left(]0;+\infty[\right)[/mm]
>
> Auf [mm]\left(]0;+\infty[\right)[/mm] bist du gekommen wegen
> |y|-|x|>0 oder??
Ja, denn $|y|-|x|>0$ ist hier ja nichts anderes als $f(x,y)>0$. Also ist die Menge [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\mid f(x,y)>0\}=\{f^{-1}(z)\mid z\in \IR \text{ und } z>0\}=f^{-1}(]0;+\infty[)$
[/mm]
> Habe da noch bischen schwierigkeiten mit der
> Umkehrabbildung.Und noch eine kleine Frage:Woran erkenne
> ich das meine Funktion hier stetig ist?
Gute Frage. Aus solchem "Grundwissen", wie dem, dass die Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig ist und dass diverse Grundfunktionen, die hier zur Anwendung kommen, stetig sind. Genauer: die Projektionen [mm] $\pi_x:\IR^2\ni (x,y)\mapsto x\in \IR$ [/mm] und [mm] $\pi_y:\IR^2\ni (x,y)\mapsto [/mm] y$, sowie [mm] $-:\IR^2\ni (x,y)\mapsto x-y\in \IR$ [/mm] und der Betrag [mm] $|\ldots|:\IR\in x\mapsto |x|\in\IR$. [/mm] Ich hoffe mal, dass diese Aufzählung, für den Nachweis der Stetigkeit von [mm] $f:\IR^2\ni(x,y)\mapsto |y|-|x|\in \IR$, [/mm] ausreicht. (Im Grunde überlegst Du Dir in einen solchen Falle einfach, welche Operationen Du ausführen müsstest, um von einem Punkt $(x,y)$ zum Funktionswert $|y|-|x|$ zu kommen: wenn Du dabei nur stetige Funktionen antriffst, ist die Gesamtfunktion sicher stetig.)
>
> > also ist [mm]A[/mm] offen, wie Du richtig vermutet hast. Da diese
> > Menge offen ist, ist sie ihr eigener offfener Kern,
> > [mm]A=A^\circ[/mm].
> >
> > Die abgeschlossene Hülle [mm]\overline{A}[/mm] von [mm]A[/mm] erhält man
> > hier, indem man [mm]\overline{]0;+\infty[}=[0;+\infty[[/mm] mit
> > derselben stetigen Abbildung [mm]f[/mm] invers abbildet:
> >
> > [mm]\overline{A}=f^{-1}([0;+\infty[)=\{(x,y)\in\IR^2 \mid 0\leq |y|-|x|\}=\{(x,y)\in\IR^2\mid |x|\leq |y|\}[/mm]
>
> Dieser Schritt ist mir auch noch unklar
> [mm]\overline{]0;+\infty[}=[0;+\infty[[/mm] !Aber wahrscheinlich
> weil für die abgeschlossene Hülle [mm]0\leq[/mm] |y|-|x| gelten muss
> ,oder?
Ich muss zugeben, dass diese Art zu schliessen im allgemeinen Fall (für eine beliebige stetige Funktion $f$) wohl kaum richtig sein dürfte. Denn dies würde auf die Behauptung hinauslaufen, dass für stetiges $f$ gilt: [mm] $\overline{f^{-1}(O)}=f^{-1}(\overline{O})$.
[/mm]
Was zwar sicher gilt, ist [mm] $\overline{f^{-1}(O)}\subseteq f^{-1}(\overline{O})$, [/mm] aber gilt die Inklusion auch in der anderen Richtung? - Kaum. - Aber Du kannst an dieser Frage ja mal herumtüfteln, wenn Du magst 
Hier ist es vielleicht einfacher sich zu überlegen, dass man mit Punkten aus [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\mid 0 < |y|-|x|\}$ [/mm] beliebig nahe an Punkte aus [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\mid 0 \leq |y|-|x|\} [/mm] = [mm] f^{-1}(\overline{];+\infty[})$ [/mm] herankommen kann. Diese Punkte also noch zur abgeschlossenen Hülle von [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\mid 0 < |y|-|x|\}$ [/mm] gehören müssen.
Dass [mm] $f^{-1}(\overline{];+\infty[})$ [/mm] abgeschlossen ist, folgt dann allerdings wieder aus dem allgemeinen Satz, dass inverse Bilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen abgeschlossen sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 04.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Ok, da habe ich wieder einiges dazu gelernt.Ich danke dir somebody für deine sehr ausführliche hilfe.Ich werde mich dann mal ein bischen damit beschäftigen:)
MFG Dave
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:54 Di 06.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Habe heute nochmal nachgefragt und
Wir sollen doch folgende definition benutzen, um die Offenheit oder Abgeschlossenheit zu beweisen:
Eine Menge [mm] M\subset \IR^n [/mm] heißt offen, wenn zu jedem x [mm] \in [/mm] M ein r>0 existiert, sd. B(x,r) [mm] \subset [/mm] M.
[mm] N\subset\IR^2 [/mm] abgeschlossen [mm] \gdw \IR^n [/mm] ohne N offen
[mm] |*|:\IR^n \mapsto \IR [/mm] euklidische Norm
d(x,y)=|x-y| zugehörige Metrik
Falls du oder einer,mir da nochmal weiterhelfen könnte wäre es klasse.
Bin da bischen verzweifelt.
MFG Dave
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> Habe heute nochmal nachgefragt und
> Wir sollen doch folgende definition benutzen, um die
> Offenheit oder Abgeschlossenheit zu beweisen:
>
> Eine Menge [mm]M\subset \IR^n[/mm] heißt offen, wenn zu jedem x [mm]\in[/mm]
> M ein r>0 existiert, sd. B(x,r) [mm]\subset[/mm] M.
>
> [mm]N\subset\IR^2[/mm] abgeschlossen [mm]\gdw \IR^n[/mm] ohne N offen
>
> [mm]|*|:\IR^n \mapsto \IR[/mm] euklidische Norm
> d(x,y)=|x-y| zugehörige Metrik
>
> Falls du oder einer,mir da nochmal weiterhelfen könnte wäre
> es klasse.
> Bin da bischen verzweifelt.
Gleich am Anfang meiner Antwort https://www.vorhilfe.de/read?i=319349 habe ich darauf hingewiesen, dass man den Satz, dass die inversen Bilder offener (abgeschlossener) Mengen unter einer stetigen Abbildung offen (abgeschlossen) sind, leicht aufgrund einer [mm] $\epsilon$-$\delta$-Definition [/mm] von Stetigkeit beweisen kann. Daher wäre es problemlos möglich, die Grundüberlegung, die in dem dort skizzierten Beweis enthalten ist, bei der Lösung Deiner Aufgaben immer wieder von neuem zu durchlaufen, ohne den fraglichen Satz ausdrücklich zu formulieren / zu erwähnen / vorauszusetzen. - Vielleicht ist dies aus "didaktischen" Gründen sogar sinnvoll: aber von einem mehr "denkökonomischen" Standpunkt aus, wäre ein solches Vorgehen sicher nicht das Gelbe vom Ei.
Weshalb formuliert (und beweist) man überhaupt "allgemeine Sätze" (wie diesen über die inversen Bilder offener bzw. abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen) in der Mathematik? - Meine (natürlich ganz unmassgebliche) Antwort: um solchermassen repetitives immer und immer wieder Durchlaufen derselben Denkfiguren zu vermeiden...
Ich lasse Deine Frage als nur teilweise beantwortet stehen, weil ich zur Zeit zuwenig Lust habe, die argumentative Tanzmaus zu spielen, die dasselbe Argument immer wieder herunterspult, ohne den dahinterliegenden grundlegenden Satz voraussetzen oder auch nur beweisen zu dürfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 06.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Ich habe die Frage ja ins Forum gestellt und nicht explizit an dich.
Für deine Hilfe hatte ich mich ja schon bedankt.
naja....
Ich werde das schon irgendwie dann selber meistern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Do 08.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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