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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:25 Fr 14.11.2014 | | Autor: | evinda |
Guten Morgen 
Ich will zeigen, dass [mm] \{ A \cup x: x \in B \} [/mm] eine Menge ist, wenn A,B Mengen sind.
Außerdem, will ich zeigen, dass für B [mm] \neq [/mm] 0, A [mm] \cup \bigcap B=\bigcap \{ A \cap x: x \in B\}
[/mm]
Ich habe folgendes versucht:
Um zu zeigen, dass [mm] \{ A \cup x: x \in B \}=\{ y: (\exists x \in B) y=A \cup x\} [/mm] eine Menge ist, wollen wir eine Menge C finden, sodass wenn y: [mm] (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] y=A\cup [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] C
Sei y: [mm] (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] y=A\cap [/mm] x.
Dann x [mm] \subset \bigcup [/mm] B und A [mm] \subset [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] x [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup (\bigcup [/mm] B) [mm] \rightarrow [/mm] y=A [mm] \cup [/mm] x [mm] \in \mathcal{P}(A \cup (\bigcup [/mm] B))
Also, für [mm] C=\mathcal{P}(A \cup (\bigcup [/mm] B)), hat man, dass [mm] \{ A \cup x: x \in B \} [/mm] eine Menge ist.
[mm] x\in(A \cup(\bigcap B))\leftrightarrow x \in A \lor x \in \bigcap B \leftrightarrow x \in A \lor ((\forall b \in B)x \in b) \leftrightarrow \forall b \in B(x \in A \cup b) \leftrightarrow x \in \bigcup \{ A \cup x: x \in b\}
Also, A \cup( \bigcap B)=\bigcap \{ A \cap x: x \in B\}.
Könntet ihr mir sagen ob es richtig ist?
Ich habe die Frage auch in Matheplanet gestellt.[/mm]
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> Guten Morgen
... und guten Mittag und Nachmittag !
> Ich will zeigen, dass [mm]\{ A \cup x: x \in B \}[/mm] eine Menge
> ist, wenn A,B Mengen sind. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ist da nicht etwa gemeint, dass A und B Mengen von Mengen
sein sollen ?
Oder sollte da anstatt $\ A [mm] \cup [/mm] x$ etwa $\ A [mm] \cup \{x\}$ [/mm] stehen ?
> Außerdem, will ich zeigen, dass für B [mm]\neq[/mm] 0, A [mm]\cup \bigcap B=\bigcap \{ A \cap x: x \in B\}[/mm]
Auch damit die Schnittmenge [mm] $\bigcap [/mm] B$ und die Vereinigungs-
menge [mm] $\bigcup [/mm] B$ definiert sind, müsste doch B nicht einfach
eine Menge, sondern eine Menge von Mengen sein !
> Ich habe folgendes versucht:
>
> Um zu zeigen, dass [mm]\{ A \cup x: x \in B \}=\{ y: (\exists x \in B) y=A \cup x\}[/mm]
> eine Menge ist, wollen wir eine Menge C finden, sodass wenn
> y: [mm](\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]y=A\cup[/mm] x [mm]\rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] C
>
> Sei y: [mm](\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]y=A\cap[/mm] x.
> Dann x [mm]\subset \bigcup[/mm] B und A [mm]\subset[/mm] A [mm]\rightarrow[/mm] A
> [mm]\cup[/mm] x [mm]\subset[/mm] A [mm]\cup (\bigcup[/mm] B) [mm]\rightarrow[/mm] y=A [mm]\cup[/mm] x
> [mm]\in \mathcal{P}(A \cup (\bigcup[/mm] B))
>
> Also, für [mm]C=\mathcal{P}(A \cup (\bigcup[/mm] B)), hat man, dass
> [mm]\{ A \cup x: x \in B \}[/mm] eine Menge ist.
>
>
> [mm][mm] x\in(A \cup(\bigcap B))\leftrightarrow x \in A \lor x \in \bigcap B \leftrightarrow x \in A \lor ((\forall b \in B)x \in b) \leftrightarrow \forall b \in B(x \in A \cup b) \leftrightarrow x \in \bigcup \{ A \cup x: x \in b\}
Also, A \cup( \bigcap B)=\bigcap \{ A \cap x: x \in B\}.
LG , Al-Chwarizmi
[/mm]
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