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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Sa 20.03.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Es seien folgende Mengen angegeben:
A = {x | x [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \bruch{3x+2}{x-2} \in \IZ \} [/mm] und B = {x | x [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \bruch{5x+7}{x-1} \in \IN \}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Mengen A [mm] \cup [/mm] B, A [mm] \cap [/mm] B und A [mm] \setminus [/mm] B. |
Hallo,
A vereinigt B, umfasst beide Elemente aus A und B. Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Bedingungen:
[mm] \bruch{3x+2}{x-2} \in \IZ [/mm]
und
[mm] \bruch{5x+7}{x-1} \in \IN
[/mm]
zusammenführen kann, damit die Vereinigung alle Elemente aus beiden Mengen enthält.
Genauso sieht es für A [mm] \cap [/mm] B und A [mm] \setminus [/mm] B aus.
Über einen Tipp, wie ich anfangen kann, würde ich mich freuen.
Grüße
itse
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Hallo itse,
Führe zunächst eine Polynomdivision durch:
[mm]\begin{array}{c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ \ }c@{\ \ }c}
{}&3x&+&2&:&x-2=3+\frac{8}{x-2}\\
-&3x&-&6&{}&{}\\\cline{2-4}
{}&{}&{}&8&{}&{}
\end{array}[/mm]
Da [mm]3\in\mathbb{Z}[/mm] ist, mußt du dich nur noch fragen, wann [mm]\tfrac{8}{x-2}\in\mathbb{Z}[/mm] ist. Es gilt [mm]8=2^3[/mm]. D.h. es sollte [mm]x-2\in\mathcal{S}\subset\left\{\pm 2^0,\pm 2^1,\pm 2^2,\pm 2^3\right\}[/mm] gelten. Beachte allerdings, daß [mm]x\in\mathbb{N}[/mm]. Dann sind nämlich viele Elemente wie -8 nicht in [mm]\mathcal{S}[/mm] enthalten, weil [mm]x\![/mm] dafür negativ sein müßte. Bestimme also für welche natürlichen [mm]x\![/mm] das gilt und erhalte damit [mm]A\![/mm]. Wiederhole die obigen Schritte mit [mm]B\![/mm]. Dadurch erhälst du endliche Mengen und kannst [mm]A\cap B,A\cup B[/mm] und [mm]A\setminus B[/mm] bestimmen.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 20.03.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
Vielen Dank für den Tipp.
> Es gilt [mm]8=2^3[/mm]. D.h. es
> sollte [mm]x-2\in\mathcal{S}\subset\left\{\pm 2^0,\pm 2^1,\pm 2^2,\pm 2^3\right\}[/mm]
> gelten.
Wie kommst du darauf? Dann würde für x nur 1, und 4 übrig bleiben. Ich muss ja nun herausbekommen, für welche x-Werte der Bruch ganzzahlige Werte annimmt.
Somit würde sich für A folgendes ergeben: A = {-5, 7}, aber beipielsweise für x = 0 ergibt sich -1 / für x = 3 ergibt sich 11 / für x = 6 ergibt sich 5. Weitere Werte habe ich durch probieren nicht gefunden.
Also wäre A = {-1, -5, 5, 7, 11} ?
> Beachte allerdings, daß [mm]x\in\mathbb{N}[/mm]. Dann sind
> nämlich viele Elemente wie -8 nicht in [mm]\mathcal{S}[/mm]
> enthalten, weil [mm]x\![/mm] dafür negativ sein müßte. Bestimme
> also für welche natürlichen [mm]x\![/mm] das gilt und erhalte
> damit [mm]A\![/mm]. Wiederhole die obigen Schritte mit [mm]B\![/mm].
Bei B sieht es besser aus, da weniger Werte zugelassen sind. Polynomdivison ergibt:
(5x+7):(x-1) = 5 + [mm] \bruch{12}{x-1}
[/mm]
5 [mm] \in \IN [/mm] somit bleibt nur noch [mm] \bruch{12}{x-1} [/mm] übrig, dieser Bruch muss [mm] \ge [/mm] 0 sein. Es gibt zwei Fälle: 1. 0 [mm] \le [/mm] x < 1: ist der Bruch negativ, somit nicht im zugelassenen Wertebereich, auch 1 scheidet aus, somit bleibt übrig:
2. Fall: x > 1: [mm] \bruch{12}{x-1} \ge [/mm] 0, 12 [mm] \ge [/mm] x-1, 13 [mm] \ge [/mm] x
Ich habe dann die ganze Werte für x: 1 < x [mm] \le [/mm] x eingesetzt, ob die Werte ganzzahlig sind, folgende x-Werte erfüllen die Bedingung: x = {2,3,4,5,7,13}. Daraus ergibt sich für B = {17, 11, 9, 8, 7, 6}.
Würde das für die Menge B stimmen?
Besten Dank
itse
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> Vielen Dank für den Tipp.
>
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> > Es gilt [mm]8=2^3[/mm]. D.h. es
> > sollte [mm]x-2\in\mathcal{S}\subset\left\{\pm 2^0,\pm 2^1,\pm 2^2,\pm 2^3\right\}[/mm]
> > gelten.
>
> Wie kommst du darauf? Dann würde für x nur 1, und 4
> übrig bleiben. Ich muss ja nun herausbekommen, für welche
> x-Werte der Bruch ganzzahlige Werte annimmt.
>
> Somit würde sich für A folgendes ergeben: A = {-5, 7},
> aber beipielsweise für x = 0 ergibt sich -1 / für x = 3
> ergibt sich 11 / für x = 6 ergibt sich 5. Weitere Werte
> habe ich durch probieren nicht gefunden.
>
> Also wäre A = {-1, -5, 5, 7, 11} ?
>
Nein, A ist die Menge aller x für die
die in der Aufgabe genannten Bedingungen gelten.
>
> > Beachte allerdings, daß [mm]x\in\mathbb{N}[/mm]. Dann sind
> > nämlich viele Elemente wie -8 nicht in [mm]\mathcal{S}[/mm]
> > enthalten, weil [mm]x\![/mm] dafür negativ sein müßte. Bestimme
> > also für welche natürlichen [mm]x\![/mm] das gilt und erhalte
> > damit [mm]A\![/mm]. Wiederhole die obigen Schritte mit [mm]B\![/mm].
>
>
> Bei B sieht es besser aus, da weniger Werte zugelassen
> sind. Polynomdivison ergibt:
>
> (5x+7):(x-1) = 5 + [mm]\bruch{12}{x-1}[/mm]
>
> 5 [mm]\in \IN[/mm] somit bleibt nur noch [mm]\bruch{12}{x-1}[/mm] übrig,
> dieser Bruch muss [mm]\ge[/mm] 0 sein. Es gibt zwei Fälle: 1. 0 [mm]\le[/mm]
> x < 1: ist der Bruch negativ, somit nicht im zugelassenen
> Wertebereich, auch 1 scheidet aus, somit bleibt übrig:
>
> 2. Fall: x > 1: [mm]\bruch{12}{x-1} \ge[/mm] 0, 12 [mm]\ge[/mm] x-1, 13 [mm]\ge[/mm]
> x
>
> Ich habe dann die ganze Werte für x: 1 < x [mm]\le[/mm] x
> eingesetzt, ob die Werte ganzzahlig sind, folgende x-Werte
> erfüllen die Bedingung: x = {2,3,4,5,7,13}. Daraus ergibt
> sich für B = {17, 11, 9, 8, 7, 6}.
>
> Würde das für die Menge B stimmen?
Hier hast Du die Menge B mit der Menge X verwechselt:
[mm]B=\left\{2,3,4,5,7,13\right\}[/mm]
>
> Besten Dank
> itse
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 20.03.2010 | | Autor: | itse |
> Hallo itse,
>
> > Hallo,
> >
> > Vielen Dank für den Tipp.
> >
> >
> > > Es gilt [mm]8=2^3[/mm]. D.h. es
> > > sollte [mm]x-2\in\mathcal{S}\subset\left\{\pm 2^0,\pm 2^1,\pm 2^2,\pm 2^3\right\}[/mm]
> > > gelten.
> >
> > Wie kommst du darauf? Dann würde für x nur 1, und 4
> > übrig bleiben. Ich muss ja nun herausbekommen, für welche
> > x-Werte der Bruch ganzzahlige Werte annimmt.
> >
> > Somit würde sich für A folgendes ergeben: A = {-5, 7},
> > aber beipielsweise für x = 0 ergibt sich -1 / für x = 3
> > ergibt sich 11 / für x = 6 ergibt sich 5. Weitere Werte
> > habe ich durch probieren nicht gefunden.
> >
> > Also wäre A = {-1, -5, 5, 7, 11} ?
> >
>
>
> Nein, A ist die Menge aller x für die
> die in der Aufgabe genannten Bedingungen gelten.
Die Elemente müssen aus der Menge der natürlichen Zahlen sein, somit bleibt nur: A = {5, 7, 11}.
Jedoch verstehe ich noch immer nicht, wie man auf die Überlegung kommt, die x-Werte so zu bestimmen? bzw. es fehlen ja zwei Werte.
Gruß
itse
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Hallo itse,
> > Hallo itse,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > Vielen Dank für den Tipp.
> > >
> > >
> > > > Es gilt [mm]8=2^3[/mm]. D.h. es
> > > > sollte [mm]x-2\in\mathcal{S}\subset\left\{\pm 2^0,\pm 2^1,\pm 2^2,\pm 2^3\right\}[/mm]
> > > > gelten.
> > >
> > > Wie kommst du darauf? Dann würde für x nur 1, und 4
> > > übrig bleiben. Ich muss ja nun herausbekommen, für welche
> > > x-Werte der Bruch ganzzahlige Werte annimmt.
> > >
> > > Somit würde sich für A folgendes ergeben: A = {-5, 7},
> > > aber beipielsweise für x = 0 ergibt sich -1 / für x = 3
> > > ergibt sich 11 / für x = 6 ergibt sich 5. Weitere Werte
> > > habe ich durch probieren nicht gefunden.
> > >
> > > Also wäre A = {-1, -5, 5, 7, 11} ?
> > >
> >
> >
> > Nein, A ist die Menge aller x für die
> > die in der Aufgabe genannten Bedingungen gelten.
>
> Die Elemente müssen aus der Menge der natürlichen Zahlen
> sein, somit bleibt nur: A = {5, 7, 11}.
Die Menge A besteht aus den jenigen [mm] x \in \IN[/mm],
für welche [mm]\bruch{3x+2}{x-2} \in \IZ[/mm] ist.
>
> Jedoch verstehe ich noch immer nicht, wie man auf die
> Überlegung kommt, die x-Werte so zu bestimmen? bzw. es
> fehlen ja zwei Werte.
[mm]\bruch{3x+2}{x-2} =3+\bruch{8}{x-2}[/mm]
Da [mm]\bruch{8}{x-2}[/mm] eine ganze Zahl sein muß.
muß zwangsläufig x-2 ein Teiler von 8 sein.
Daher muß gelten;
[mm]\left(x-2\right) \in \left\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm 4, \ \pm 8\right\}[/mm]
>
> Gruß
> itse
Grus
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 20.03.2010 | | Autor: | itse |
Hallo MathePower,
> > > Nein, A ist die Menge aller x für die
> > > die in der Aufgabe genannten Bedingungen gelten.
> >
> > Die Elemente müssen aus der Menge der natürlichen Zahlen
> > sein, somit bleibt nur: A = {5, 7, 11}.
>
>
> Die Menge A besteht aus den jenigen [mm]x \in \IN[/mm],
>
> für welche [mm]\bruch{3x+2}{x-2} \in \IZ[/mm] ist.
>
>
> >
> > Jedoch verstehe ich noch immer nicht, wie man auf die
> > Überlegung kommt, die x-Werte so zu bestimmen? bzw. es
> > fehlen ja zwei Werte.
>
>
> [mm]\bruch{3x+2}{x-2} =3+\bruch{8}{x-2}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{8}{x-2}[/mm] eine ganze Zahl sein muß.
> muß zwangsläufig x-2 ein Teiler von 8 sein.
>
> Daher muß gelten;
>
> [mm]\left(x-2\right) \in \left\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm 4, \ \pm 8\right\}[/mm]
Ich habe nun für A = {0,1,4} raus, da die Null doch auch zu den natürlichen Zahlen gehört, je nach Definition. Und die Null ist in diesem Fall auch ein ganzzahliger Teiler und [mm]\bruch{8}{x-2}[/mm] [mm] \in \IZ, [/mm] somit passt das auch.
Stimmt mein Ergebnis nun für A?
Besten Dank
itse
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Hallo, so stimmt deine Menge A leider nicht, es fehlen einige Elemente,
zu untersuchen ist [mm] \bruch{8}{x-2} [/mm] du hast jetzt 8 Möglichkeiten:
x-2=1
x-2=-1
x-2=2
x-2=-2
x-2=4
x-2=-4
x-2=8
x-2=-8
für diese Fälle ergibt [mm] \bruch{8}{x-2} [/mm] eine ganze Zahl, du kannst jetzt jeweils nach x umstellen und hast somit die Menge A
Steffi
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